267. Polinomul (X^2 + X + 1)^n - X este divizibil cu polinomul X^2 - 1 daca si numai daca :
a. n=2k
b. n=3k
c. n=2k-1
d. n=3k+1
e. n=3k+2
272. Restul impartirii polinomului P(x)= X^100 + X^50 - 2X^4 - X^3 + X +1 la polinomul X^3 + X ?
274. Restul impartirii polinomului (X + 1)^601 - X^601 - 1 la (X^2 + X + 1)^2?
Daca au mai fost publicate imi cer scuze ... nu le-am gasit!

Mi-e mai usor sa rezolv decat sa caut, cer scuze daca dublez propozitii...

267. Enuntul nu da multe sanse de divizibilitate.
Fie n numar natural natural. Atunci polinomul

este divizibil cu polinomul

- daca si numai daca el este divizibil cu factorii primi (intre ei) (X-1) si (X+1) ai acestui polinom (in conformitate cu structura de inel (cu algoritm de impartire cu rest) euclidian cu descompunere unica in factori primi, deci
- daca si numai daca se anuleaza in 1 si -1 (conform teoremei lui Bezout), deci
- daca si numai daca (3^n-1) si 1-(-1) se anuleaza, deci
- daca si numai daca canci.

Daca avem in enunt o greseala de tipar la locul potrivit si de fapt avem de-a face cu

in loc de... atunci putem rationa ca mai sus, sau (folosind de exemplu formula binomiala pentru (XX-1)+X mai simplu, are loc divizibilitatea daca si numai daca X^n-X se divide cu XX-1, caz in care putem pune mana imediat pe cat si rest. (Dar tot mai bine aplicam Bezout, pentru a avea ambele implicatii.) Raspunsul pentru enuntul schimbat este: Divizibilitatea data are loc pentru orice n natural pentru care exista un k intreg (sau k natural sau - tot una dar mai "economic" - un k>0 natural) cu proprietatea

n = 2k-1.

Egal ce enunt luam, nici unul dintre raspunsurile

a. n=2k
b. n=3k
c. n=2k-1
d. n=3k+1
e. n=3k+2

nu corespunde pentru ca nu am definit k.
Ca regula esentiala in matematica, informatica, fizica, chimie e bine sa pomenim aici: Orice variabila folosita trebuie definita, ea este fie o necunoscuta in ecuatie, fie o variabila in definitia unei functii, iar atunci trebuie sa stim domeniul in care poate sa se plimba, fie este o variabila din "logica propozitiilor" pe care trebuie sa o introducem folosind cuantificatorii "exista" sau "pentru orice".


272. Restul impartirii polinomului P(x)= X^100 + X^50 - 2X^4 - X^3 + X + 1 la polinomul X^3 + X ?

Problema se rezolva usor cu calculatorul. (Cod Pari/GP)
Idea de calcul se prezinta cel mai usor cu calculatorul:

? ( X^100 + X^50 - 2*X^4 - X^3 + X + 1 ) % ( X^3+X )
%1 = 2*X^2 + 2*X + 1
? X^100 % ( X^3+X )
%2 = -X^2
? X^50 % ( X^3+X )
%3 = X^2
? -2*X^4 % ( X^3+X )
%4 = 2*X^2
? -X^3 % ( X^3+X )
%5 = X


Tema de casa: De ce se divide X^100 + X^50 cu X^2+1 ?
De dat doua solutii, prima prin descompunere in factori, a doua prin Bezout.

274. Restul impartirii polinomului (X + 1)^601 - X^601 - 1 la (X^2 + X + 1)^2?
? ( (X + 1)^601 - X^601 - 1 ) % (X^2 + X + 1)^2
%6 = 0

(dar oamenii inca refuza calculatorul). De ce?

Fie a,b radacinile nereale de ordinul 3 ale unitatii, deci aa+a+1 = bb+b+1 = 0 (si desigur in particular cum am promis aaa-1 =(a-1)(aa+a+1) =0, etc. ). Atunci ce inseamna oare...


sage: f(X) = (X + 1)^601 - X^601 - 1 ; f
X |--> (X + 1)^601 - X^601 - 1
sage: g(X) = ( X^2+X+1 )^2 ; g
X |--> (X^2 + X + 1)^2
sage: a = ( -1 + I*sqrt(3) ) / 2
sage: b = ( -1 - I*sqrt(3) ) / 2
sage: g(a)
1/4*(2*(1/2*I*sqrt(3) - 1/2)^2 + I*sqrt(3) + 1)^2
sage: g(a) .expand()
0
sage: g(b) .expand()
0
sage: f(a) . expand()
0
sage: f(b) . expand()
0
sage: ( diff(f,X) (a) ) . expand()
0
sage: ( diff(f,X) (b) ) . expand()
0


Cum mana ajunge sa dau o singura indicatie: a+1 = -aa ...

Intrebari?

Multumesc mult! am gresit eu semnul, imi cer scuze.Am inteles, mai putin la ultimele 2 dar ma descurc! ...
mai am nevoie de un mic ajutor :
multimea valorilor lui a din R, pentru care ecuatia
X^4 + 4X^3 + aX^2 + 4X + 1= 0 , are toate radacinile reale este ?

Multumesc!

Cer scuze, am fost grabit... Problema este "de rutina" asa ca trebuie s-o explic pentru a intra in rutina.

Restul impartirii polinomului P(x)= X^100 + X^50 - 2X^4 - X^3 + X + 1 la polinomul X^3 + X se poate calcula principial in doua moduri:

Se calculeaza restul impartirii la factorii liniari ai polinomului dat. Descompunand XXX + X = X(X-i)(X+i) unde XXX este desigur (X la puterea a treia scris ca in secolul XIV cand nu aveau pene ascutite bine ca sa puna trei roman III in exponent). Restul la impartirea cu fiecare din factorii liniari se obtine din teorema lui Bezout:

Restul impartirii lui P la X =(X-0) este P(0)=1 .
Restul impartirii lui P la (X-i) este P(i)=1+(-1)-2-(-i)+i+1 .
Restul impartirii lui P la (X+i)=(X-(-i)) este P(-i), conjugatul lui P(i) .

Ramane sa cautam un polinom rest R(x) cu coeficienti reali (intregi chiar) de forma R(x) = axx + bx + c (a,b,c necunoscute de determinat din cele trei ecuatii),

R(0) = P(0), R(i) = P(i) si R(-i) = P(-i)

Deoarece stim de la calculator raspunsul 2*X^2 + 2*X + 1 ajunge chiar numai sa-l verificam.

"Cu ochiul" se observa ca termanii "mari" sunt usor de luat de pe lista, deoarece

(Acest lucru trebuie vazut paralel si cu Bezout!)
Ramane de gasit restul impartirii unui polinom de grad patru la unul de gradul III ca pe a VIII-a.

274. Cautam restul impartirii polinomului P la Q unde

Este suficient si necesar sa aratam ca avem:

este derivata (formala, adica cea din algebra pentru cei ce sunt mai pedanti si considera ca analiza complexa nu e inca facuta la liceu) pentru polinomul P.

De ce se calculeaza usor P(a) ? Deoarece a fiind radacina a polinomului XX + X + 1 satisface aa+a+1 = 0, deci la indemana si a+1 = -aa. De asemenea, dam repede si de aaa = 1 (algebric sau reprezentand trigonometric) si deducem

La fel si cu b, deoarece satisface aceleasi ecuatii algebrice (sau conjugand complex ...)

Intrebari?

Un "truc" pe care putem sa-l aplicam pentru a gasi
[blue]
multimea valorilor lui a din IR, pentru care ecuatia
X^4 + 4X^3 + aX^2 + 4X + 1 = 0 , are toate radacinile reale
[/blue]
este urmatorul. Putem scrie mai intai observand ca avem coeficienti 1,4,a,4,1 cam "aproape" de 1,4,6,4,1

Daca a>6 expresia de mai sus este o suma de doua patrate reale ce nu se anuleaza in acelasi timp, deci este >0 pe intreg IR, deci nu are radacini reale.

Dac a este mai mic sau egal cu 6, introducem din motive didactice si psihologice notatia a-6 = -bb cu b real mai mare sau egal cu zero si ne ocupam de factorizarea expresiei

Cand au ambii factori de mai sus toate radacinile reale. Impunem conditiile pentru discriminanti

si

si dam astfel de faptul ca b(b-4) si b(b+4) sunt numere mai mari sau egale cu zero. Acest lucru se intampla pentru b=0 iar in rest pentru b in afara intervalului (-4,4).
Atunci bb este fie zero, fie mai mare sau egal cu 16.
Deci a-6 este fie zero, fie un numar mai mic sau egal cu -16.
Deci a este 6 sau mai mic sau egal cu -10. Sa vedem pe cateva exemple cu calculatorul:


sage: def info( a ):
....: P( X ) = X^4 + 4*X^3 + a*X^2 + 4*X + 1
....: print "a=%s" % a
....: print "Radacini ale lui P:"
....: for solutie in solve( X^4 + 4*X^3 + a*X^2 + 4*X + 1 == 0 , X , solution_dict=True ):
....: print "\t", solutie[X]
....:

sage: info(6)
a=6
Radacini ale lui P:
-1
sage: info(7)
a=7
Radacini ale lui P:
-1/2*sqrt(4*I - 1) - 1/2*I - 1
1/2*sqrt(4*I - 1) - 1/2*I - 1
-1/2*sqrt(-4*I - 1) + 1/2*I - 1
1/2*sqrt(-4*I - 1) + 1/2*I - 1
sage: info(3)
a=3
Radacini ale lui P:
-1/2*sqrt(4*sqrt(3) + 3) - 1/2*sqrt(3) - 1
1/2*sqrt(4*sqrt(3) + 3) - 1/2*sqrt(3) - 1
-1/2*sqrt(-4*sqrt(3) + 3) + 1/2*sqrt(3) - 1
1/2*sqrt(-4*sqrt(3) + 3) + 1/2*sqrt(3) - 1
sage: info(-3)
a=-3
Radacini ale lui P:
-1/2*sqrt(21) - 5/2
1/2*sqrt(21) - 5/2
-1/2*I*sqrt(3) + 1/2
1/2*I*sqrt(3) + 1/2
sage: info(-9)
a=-9
Radacini ale lui P:
-1/2*sqrt(4*sqrt(15) + 15) - 1/2*sqrt(15) - 1
1/2*sqrt(4*sqrt(15) + 15) - 1/2*sqrt(15) - 1
-1/2*sqrt(-4*sqrt(15) + 15) + 1/2*sqrt(15) - 1
1/2*sqrt(-4*sqrt(15) + 15) + 1/2*sqrt(15) - 1
sage: info(-10)
a=-10
Radacini ale lui P:
-2*sqrt(2) - 3
2*sqrt(2) - 3
1
sage: info(-11)
a=-11
Radacini ale lui P:
-1/2*sqrt(4*sqrt(17) + 17) - 1/2*sqrt(17) - 1
1/2*sqrt(4*sqrt(17) + 17) - 1/2*sqrt(17) - 1
-1/2*sqrt(-4*sqrt(17) + 17) + 1/2*sqrt(17) - 1
1/2*sqrt(-4*sqrt(17) + 17) + 1/2*sqrt(17) - 1
sage: info(-19)
a=-19
Radacini ale lui P:
-3/2*sqrt(5) - 7/2
3/2*sqrt(5) - 7/2
-1/2*sqrt(5) + 3/2
1/2*sqrt(5) + 3/2

Pentru a=-9 dam de radacini complexe nereale, deoarece apare un radical din numarul negativ -4*sqrt(15) + 15 care nu mai dispare.

Multumesc mult! acum am inteles mult mai bine!