Fie ABCD un tetraedru regulat de muchie "a" si O un punct in planul (BCD).Dreapta d ce trece prin punctul O si este perpendiculara pe planul (BCD) taie celelalte fete ale tetraedrului in punctele M, N si P. Aratati ca MO+NO+PO=constant.

Sa rezolvam impreuna. O solutie ar putea merge pe urmatorul drum... (Indicatii doar.)

Observatie: in suma de trei lungimi de laturi de mai sus sunt considerate lungimile "cu semn" (fata de o directie fixata a inaltimii din A a tetraedrului ABCD dat), alternativ (dar nu stiu daca mai e clasa a VIII-a pe aici) consideram o suma de vectori...

Mai intai o problema plana "apropiata".
Fie XEF un triunghi isoscel cu unghiuri congruente in E si F.
Un punct se plimba pe latura (baza) EF... Luam perpendiculara in el pe EF. Ce suma este constanta?

E timpul sa ne mutam in spatiu. Fie O ca in problema. Ducem prin O o paralela (p) la CD (in planul BCD). Consideram un alt punct O' pe (p)... Ce proprietate au care dintre lungimile (cu semn, respectiv vectorii)
MO, NO, PO respectiv
M'O', N'O', P'O'
cu notatiile corespunzatoare.

Consideram planul (PI)
- prin paralela (p)
- perpendicular pe planul bazei (B,C,D).
Din motive de simetrie cum taie (PI) planele fetelor?

Cum se termina problema daca mutam O-ul ba pe o paralela la BC, ba pe una la CD ca sa ajungem cu el intr-un punct fixat, sa zicem centrul bazei BCD?

Care este valoarea constanta a sumei... ?

N.B. Problema este deosebit de estetica si formeaza vederea in spatiu. Care este sursa?

Problema se g?se?te în vechiul manual de geometrie în spa?iu pentru clasa a 10-a, dar punctul O trebuie s? se afle în interiorul sau pe laturile bazei. Dup? o exprimare trigonometric? simpl?, totul se reduce la faptul c? suma distan?elor de la O la laturile bazei este constant?.

[Citat] Problema se g?se?te în vechiul manual de geometrie în spa?iu pentru clasa a 10-a, dar punctul O trebuie s? se afle în interiorul sau pe laturile bazei. Dup? o exprimare trigonometric? simpl?, totul se reduce la faptul c? suma distan?elor de la O la laturile bazei este constant?.

Aveti dreptate d-nule Enescu.Daca calculele mele nu sunt gresite atunci MO+NO+PO= "a" radical din 6.

Fie VBCD o piramida cu baza BCD triunghi echilateral in care varful V se proiecteaza in centrul O al lui BCD. Fie X un punct arbitrar in planul bazei. Perpendiculara in X pe planul bazei taie fetele dupa cum urmeaza:
- VCD (fara B) in M ,
- VBD (fara C) in N ,
- VBC (fara D) in P .
Consideram lungimile cu semn ale segmentelor XM, XN, XP (de exemplu proiectandu-le pe OV si considerand orientarea lui OV de la O la V drept cea pozitiva).

Atunci: XM + XN + XP = 3 OV .

Avem in momentul de fata doua solutii:

Folosind trigonometrie pentru unghiul format de baza cu fetze (independent de fatza) ne reducem la problema clasica in plan in care avem de aratat ca distantele cu semn la laturile triunghiului BCD ale unui punct arbitrar M din planul acestuia este constanta (si egala cu lungimea unei inaltimi).
(Aici consideram o orientare corespunzatoare a (contururilor) laturilor si din aceasta cea indusa pentru normalele lor.)

Observam ca plimband X pe o paralela (p) la CD valoarea lui XM este constanta. Suma XN + XP se arata a fi constanta considerand triunghiul isoscel (din motive de simetrie) obtinut taind cele doua fete corespunzatoare si baza cu planul prin (p) perpendicular pe baza. Dam de problema in plan asemanatoare: Fie WEF triunghi isoscel si X pe EF. Ducem perpendiculara in X pe EF. Ea taie laturile in N si P. Atunci suma de lungimi de laturi cu semn XN + XP este constanta.
Ramane sa observam ca plimband X pe o paralela la BC cu acelasi argument dam de valori constante. Putem astfel folosi doua directii pentru a duce X-ul in O.

Personal o prefer pe prima.
Dar ambele solutii au un anumit rol didactic.