Notam cu f, respectiv g functiile definite pe multimea numerelor naturale nenule cu valori reale date de "formulele":
f(n) este suma divizorilor naturali (deci excludem de exemplu -1) ai lui n,
g(n) este suma inverselor divizorilor naturali ai lui n.
Ni se cere f(n)g(n) = n .
Cu o observatie simpla si tipica ne reducem usor la un caz usor. Anume:
f este o functie "multiplicativa" (unii spun si restrans multiplicativa sau asa ceva) in sensul ca:
Daca m,n>0 sunt relativ prime in IN, atunci avem "multiplicativitatea"
f(mn) = f(m) f(n) .
Acest lucru se bazeaza pe faptul ca
- daca d se plimba in multimea dizorilor lui m si
- daca e se plimba in multimea dizorilor lui n
atunci d.e se plimba in multimea divizorilor lui m.n, fiecare dintre acestia fiind atins exact o data.
"Acelasi lucru" este valabil si pentru g.
Deoarece atomii structurii multiplicative pe multimea numerelor naturale pozitive sunt numerele prime
si deoarece relatia de demonstrat este multiplicativa,
multiplicativitatea restransa arata ca ajunge sa demonstram propozitia pentru n de forma putere de numar prim.
Pentru n=1 totul e clar. Fie acum p prim si r>0 putere naturala. Avem:
Access general
Conţine mesaje necitite
