[Citat] [Citat] Eu stiam ca orice numar real este un numar complex cupartea imaginara egala cu zero.Cred ca ar fi bine ca sa se dea mai multe informatiidespre x,y,z si daca a,b,c sunt numere complexe care nu neaparat au toate partea imaginara diferita de zero sau neaparat au toate partea imaginara diferita de zero.Eu nu cred ca gresesc cerand aceste informatii. Atunci cand spunem ca un numar este complex, asta nu inseamna ca el nu poate fi real, iar daca spunem ca un numar este real asta nu inseamna ca nu poate fi rational, etc... Sunt lucruri elementare, care nu necesita discutii.

Eu nu mai zic nimic....astept si o parere a autorului.Sper ca nu v-am suparat prea tare?Cu stima!

[Citat] Ar?ta?i c? expresia poate fi descompus? sub forma unde sunt constante complexe. N.B. Personal nu am înc? o solu?ie "direct?".

Discutie premergatoare...
Desigur ca
daca exista o solutie imediata, usoara, cu coeficienti relativ simpli
problema se rezolva cu computerul instantaneu, exista algoritmi gata implementati ce incearca sa descompuna... Sa vedem intai care este solutia (sau mai degraba care nu este). Asadar introducem trei variabile x,y,z, notam cu f polinomul (omogen) de x,y,z dat si incercam sa fredonam:

Cod:

var("x,y,z" )
f(x,y,z) = 2*z^3 -4*y*z^2 -6*x*z^2 -10*x*y*z -2*x^2*z +9*y^3 +24*x*y^2 + 30*x^2*y +18*x^3

f(x,y,z) . factor()

f(x,1,0) . factor()
f(x,0,1) . factor()

f(0,y,1) . factor()
f(1,y,0) . factor()

f(0,1,z) . factor()
f(1,0,z) . factor()

Rezultate:

sage: var("x,y,z" )
(x, y, z)
sage: f(x,y,z) = 2*z^3 -4*y*z^2 -6*x*z^2 -10*x*y*z -2*x^2*z +9*y^3 +24*x*y^2 + 30*x^2*y +18*x^3
sage:
sage: f(x,y,z) . factor()
18*x^3 + 30*x^2*y - 2*x^2*z + 24*x*y^2 - 10*x*y*z - 6*x*z^2 + 9*y^3 - 4*y*z^2 + 2*z^3
sage:
sage: f(x,1,0) . factor()
18*x^3 + 30*x^2 + 24*x + 9
sage: f(x,0,1) . factor()
18*x^3 - 2*x^2 - 6*x + 2
sage:
sage: f(0,y,1) . factor()
9*y^3 - 4*y + 2
sage: f(1,y,0) . factor()
9*y^3 + 24*y^2 + 30*y + 18
sage:
sage: f(0,1,z) . factor()
2*z^3 - 4*z^2 + 9
sage: f(1,0,z) . factor()
2*z^3 - 6*z^2 - 2*z + 18

Masina asta de calcul se pare ca nu e buna la nimic. Nici macar un amarat de polinom de gradul 3 in z nu a putut sa-l sparga, desi noi stim ca plecam de la o expresie "care se descompune peste numere complexe". Bun, poate ca nu ne-am exprimat noi bine. Este clar ca peste numere complexe putem sparge fiecare din polinoamele de mai sus de cate o variabila. Anume unic. Si descompunerea ce ni se cere este tot unica si revine / se specializeaza la o descompunere de exemplu pentru

. Pai sa vedem care sunt radacinile, pentru ca atunci stim sa construim descompunerea. Din pacate...

sage: solve( 9*y^3 - 4*y + 2 == 0, y )
[y == -1/2*(I*sqrt(3) + 1)*(1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3) + 1/27*(2*I*sqrt(3) - 2)/(1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3)
,
y == -1/2*(-I*sqrt(3) + 1)*(1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3) + 1/27*(-2*I*sqrt(3) - 2)/(1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3)
,
y == (1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3) + 4/27/(1/243*sqrt(3)*sqrt(179) - 1/9)^(1/3)]

Trist dar adevarat. Cei ce cauta cu mana o descompunere, trebuie sa vada pe undeva acel radical din (3 x 179). Dar daca omul are o mana buna...

Mai departe. Ecuatia data f=0 reprezinta in coordonate proiective ecuatia unei curbe de gradul 3. daca aceasta curba este nedegenerata, atunci ea este o curba eliptica, un lucru destul de trist. Discriminantul unei astfel de curbe ne spune daca avem sau nu degenerare. Discriminantul se calculeaza in mod standard... Dar si daca dam de zero, tot nu stim daca avem spargere in trei factori liniari ( - ar putea fi un factor liniar si unul patratic... -).

De solutii la fel de complicate dam si daca cautam radacinile pentru celelalte polinoame de gradul 3 listate mai sus. Dar TOATE au acel radical din 179 in ele. Semn relativ bun.

Solutia relativ simpla...
Notez ca mai sus cu f polinomul omogen de grad 3 in x,y,z de descompus dat.
Ajunge sa descompunem forma lui afina, uitandu-ma la coeficienti, parca imi vine sa ma scap de x. Descompunem deci f(1,y,z).
Cel mai bine cautam radacinile acestui polinom de gradul 3 in variabila y, unde z este vazut ca un parametru. Ajunge sa descompunem desigur:

Cod folosit:

sage: var( 'X,Y,Z' )
(X, Y, Z)
sage:
sage: ( 3*f( 1, Y/3 -8/9, Z) ) . expand()
Y^3 - 4*Y*Z^2 + 6*Z^3 - 10*Y*Z - 22/3*Z^2 + 26/3*Y + 62/3*Z + 322/27
sage: latex( _ )
Y^{3} - 4 \, Y Z^{2} + 6 \, Z^{3} - 10 \, Y Z - \frac{22}{3} \, Z^{2} + \frac{26}{3} \, Y + \frac{62}{3} \, Z + \frac{322}{27}

Pentru aceasta, cautam doua variabile A,B (ce depind de Z) astfel ca polinomul de gradul 3 in Y de mai sus sa fie:

(Cine este zeta?)
Cerem deci:

Doar de curiozitate... Care este discriminantul polinomului de gradul 2 in Z ce apare in dreptul lui AB ? (Fara 1/3-ul din fata...) Calculam deci

, dam de un prieten asteptat, acel 179... De aici incolo lucrurile sunt previzibile. Acel polinom de gradul 2 in Z, anume 4 ZZ + 10 Z -26/3 il vom sparge in (Z-ceva)(Z-altceva), unde ceva si altceva au de-a face cu radicalul din (179/3), acesti doi factori de spartura sunt cam A,B, singurul mod de a mai varia afacerea fiind a lua poate A = (4/3)c(Z-ceva), B = d(Z-altceva) cu cd=1. Avem speranta ca la normari bune (c,d alesi bine) avem AAA + BBB egal exact cu ce trebuie.

Uitandu-ne la factorul lui ZZZ pe care trebuie sa-l obtinem, avem in c ecuatia:

Dam destul de repede de o ecuatie in c^3 de unde:

Din nou dam de acel 179. Ramane sa cerem de la calculator desfasurarea expresiilor:

unde semnele plus/minus se corespund...

Mai am de spus doar atat:

sage: Z1 = -5/4 - 1/12*sqrt(3*179)

sage: Z2 = -5/4 + 1/12*sqrt(3*179)

sage: CCC = ( 81 - 3*sqrt(3*179) ) / 64
sage: DDD = ( 81 + 3*sqrt( 3*179 ) ) * 64 / ( 81^2 - 3^2*3*179 )
sage: DDD
1/9*sqrt(537) + 3
sage: ( CCC * DDD ) . expand()
1
sage: AAA = (4/3)^3 * CCC * (Z-Z1)^3
sage: BBB = DDD * (Z-Z2)^3
sage: ( AAA+BBB ) . factor()
6*Z^3 - 22/3*Z^2 + 62/3*Z + 322/27

[Citat] Mai am de spus doar atat: sage: Z1 = -5/4 - 1/12*sqrt(3*179) sage: Z2 = -5/4 + 1/12*sqrt(3*179) sage: CCC = ( 81 - 3*sqrt(3*179) ) / 64 sage: DDD = ( 81 + 3*sqrt( 3*179 ) ) * 64 / ( 81^2 - 3^2*3*179 ) sage: DDD 1/9*sqrt(537) + 3 sage: ( CCC * DDD ) . expand() 1 sage: AAA = (4/3)^3 * CCC * (Z-Z1)^3 sage: BBB = DDD * (Z-Z2)^3 sage: ( AAA+BBB ) . factor() 6*Z^3 - 22/3*Z^2 + 62/3*Z + 322/27

Si deci care sunt valorile lui a,b,c,a',b',c',a",b",c"?Cu stima!

[Citat] Ar?ta?i c? expresia poate fi descompus? sub forma unde sunt constante complexe. N.B. Personal nu am înc? o solu?ie "direct?".

Indiferent ce fel de numere sunt x,y,z atunci nu toate numerele a,a',a",b,b',......pot fi simultan numere complexe astfel incat partea lor imaginara sa fie diferita de zero.Mai mult unele dintre aceste numere pot fi numere complexe conjugate cum ar fi de exemplu a si a',b si b' si respectic c si c'.Gresesc cumva?

Introducem notatiile:

Ce se obtine inmultind cele trei expresii

unde k ia valorile 0,1,2 ?

Nota: In enuntul initial nu ni s-a cerut descompunerea ci sa aratam existenta ei. In cele de mai sus se vede clar ca nu scapam in solutia explicita fara sa luam numere complexe nereale. Inainte de toate, daca vrem sa intelegem cubicele total degenerate, poate ar fi bine sa ne uitam si sa intelegem cum stau lucrurile cu

[Citat] Am dat pe 2 factor comun fortat si polinomul dat trebuie sa se descompuna astfel: Efectuamd produsele si identificand coeficientii, ajungem la concluzia ca sunt solutiile ecuatiei iar sunt solutiile ecuatiei Mai raman de rezolvat aceste ecuatii. Obs. In acest mod descompunem in factori dand factor comun fortat initial oricare din coeficientii lui sau .

Din p?cate, aceast? metod? nu este suficient? pentru a trata to?i coeficien?ii. De exemplu, ce ne facem cu

În orice caz, aceast? abordare implic? fapte de tipul urm?tor:

R?d?cinile polinoamelor

?i

poti fi enumerate sub forma

respectiv

astfel încât

Acest rezultat m? las? pu?in perplex...

[Citat] [Citat] Dar se spune ca m si n alias a,b,c trebuie sa fie constante complexe.De ce ati considerat ca c=1?Ce inseamna constante complexe? Nu am considerat c=1! In polinomul dat dupa ce se da factor comun fortat pe 2, in paranteza, coeficientul lui z la puterea a treia este 1.

Dand in factor pe 2 din expresie nu neaparat este necesar ca c=1,c'=1 si c"=1 ci mai general am putea considera ca c=2d,c'=2e si c"=2f si in final ar trebui sa rezulte ca produsul def=1 ceea ce inseamna ca de exemplu d=u-vi,e=u+vi si f=1 unde i este radical din (-1) iar u si v sunt numere reale astfel incat

.In continuare eu cred ca nu toate numerele a,a',a",b,b',b",c,c',c" pot fi numere complexe.Gresesc cumva?

[Citat] [Citat] [Citat] Dar se spune ca m si n alias a,b,c trebuie sa fie constante complexe.De ce ati considerat ca c=1?Ce inseamna constante complexe? Nu am considerat c=1! In polinomul dat dupa ce se da factor comun fortat pe 2, in paranteza, coeficientul lui z la puterea a treia este 1. Dand in factor pe 2 din expresie nu neaparat este necesar ca c=1,c'=1 si c"=1 ci mai general am putea considera ca c=2d,c'=2e si c"=2f si in final ar trebui sa rezulte ca produsul def=1 ceea ce inseamna ca de exemplu d=u-vi,e=u+vi si f=1 unde i este radical din (-1) iar u si v sunt numere reale astfel incat .In continuare eu cred ca nu toate numerele a,a',a",b,b',b",c,c',c" pot fi numere complexe.Gresesc cumva?

Descompunerea in factori a polinoamelor este unica mai putin o asociere in divizibilitate. Ceea ce spui tu conduce la o descompunere cu aceeasi factori, inmultiti cu diverse numere(complexe)care au acelasi produs 1.(dupa ce l-am dat pe 2 factor comun)

[Citat] Din p?cate, aceast? metod? nu este suficient? pentru a trata to?i coeficien?ii. De exemplu, ce ne facem cu În orice caz, aceast? abordare implic? fapte de tipul urm?tor: R?d?cinile polinoamelor ?i poti fi enumerate sub forma respectiv astfel încât Acest rezultat m? las? pu?in perplex...

Daca gasim radacinile polinoamelor

?i

sunt doua variante:
Sau acestea verifica(eventual dupa o reiterare a lor) si ultimile trei relatii si in acest caz am gasit descompunerea, sau ele nu verifica si ultimile trei relatii si in acest caz nu este posibila o astfel de descompunere.
(Voba lui TAMREF: "gresesc cumva?")

[Citat] Daca gasim radacinile polinoamelor ?i sunt doua variante: Sau acestea verifica(eventual dupa o reiterare a lor) si ultimile trei relatii si in acest caz am gasit descompunerea, sau ele nu verifica si ultimile trei relatii si in acest caz nu este posibila o astfel de descompunere. (Voba lui TAMREF: "gresesc cumva?")

Nu gre?i?i.

S? fiu mai precis: afirma?ia scris? cu albastru din articolul de mai sus este adev?rat?!!!! Îns? nu am o demonstra?ie direct?... Nu ?tiu s? disting r?d?cinile unui polinom de gradul trei...