Autor |
Mesaj |
|
Se consider? un triunghi isoscel ABC, cu AB=AC.Determina?i locul geometric al punctelor M interioare triunghiului,care au distan?a la BC egal? cu media geometric? a distan?elor la AB ?i AC.
--- Anamaria
|
|
Fie M un punct bun (adica din locul geometric cerut) - respectiv unul rau -
Atunci toate celelalte puncte din segmentul maximal
- din interiorul triunghiului (definit in geometria sintetica prin a include si laturile)
- care trece prin M
- si este paralel cu BC
sunt bune - respectiv rele -
De ce?
Ne trebuie deci un punct bun.
Sa cautam un punct bun pe AB. Distanta lui la BC este jumate din distanta lui la AC. Cum il construim?
--- df (gauss)
|
|
[Citat] Se consider? un triunghi isoscel ABC, cu AB=AC.Determina?i locul geometric al punctelor M interioare triunghiului,care au distan?a la BC egal? cu media geometric? a distan?elor la AB ?i AC. |
Am luat un sistem de axe cu Ox fiind axa de simetrie a triunghiului si Oy fiind latura BC. Daca nu am gresit la calcule, mi-a iesit ca locul geometric cautat este arcul de cerc ce face parte din cercul circumscris triunghiului IBC situat in interiorul triunghiului ABC (am notat cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC).
AM observat mai intai ca I apartine locului geometric, si ca exista puncte apartinand locului geometric foarte apropiate de A si B, si astfel am banuit solutia. Calculele, pe care trebuie sa le verific, au confirmat ce am scris mai sus.
--- C.Telteu
|
|
Am verificat calculele si sunt bune.
In sistemul de coordonate precizat mai sus, am luat A(0,a), B(-b,0), C(b,0) si M(alpha , beta).
Am obtinut cercul de ecuatie:
.
Coordonatele punctelor B,C si I verifica aceasta ecuatie.
--- C.Telteu
|
|
[Citat] Distanta lui la BC este jumate din distanta lui la AC. Cum il construim? |
Nu cred (sau poate nu în?eleg eu corect,scuze)Distan?a de la M la BC este media geometric? a distlan?elor la AB ?i AC. [Citat]
Am luat un sistem de axe cu Ox fiind axa de simetrie a triunghiului si Oy fiind latura BC. Daca nu am gresit la calcule, mi-a iesit ca locul geometric cautat este arcul de cerc ce face parte din cercul circumscris triunghiului IBC situat in interiorul triunghiului ABC (am notat cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC).
AM observat mai intai ca I apartine locului geometric, si ca exista puncte apartinand locului geometric foarte apropiate de A si B, si astfel am banuit solutia. Calculele, pe care trebuie sa le verific, au confirmat ce am scris mai sus. |
Desigur a?a am înv??at la ?coal?...lu?m câteva pozi?ii particulate ca s? "ghicim" locul geometric.B?nuiam de la început ca trebuie s? ajung din B în C trecând prin I,b?nuiam chiar si locul geometric ,dar sincer? s? fiu, speram într-o solu?ie sintetic? (nu mi-e mie drag? geometria analitic?,ce s? fac...)?i f?cusem o fixa?ie pe un calcul de arii,care nu m? ducea nic?ieri.
Mul?umesc mult pentru ajutor ![](images/smile.gif)
--- Anamaria
|
|
Problema se rezolv? ?i sintetic relativ u?or.
Fie M un punct pe arcul BIC apar?inând cercului circumscris
triunghiului BIC ?i fie E proiectia lui pe BC,F pe AB ?i G pe AC.
Acum din asem?narea triunghiurilor FMB ?i ME g?sim c?
iar din asem?narea triunghiurilor MEB ?i MCG rezult? c?
Înmul?im cele dou? rela?ii ?i gata! Later edit:sau am gre?it undeva sau nu-mi folose?te la nimic faptul ca triunghiul dat isoscel.
--- Anamaria
|
|
[Citat] Problema se rezolv? ?i sintetic relativ u?or.
Fie M un punct pe arcul BIC apar?inând cercului circumscris
triunghiului BIC ?i fie E proiectia lui pe BC,F pe AB ?i G pe AC.
Acum din asem?narea triunghiurilor FMB ?i ME g?sim c?
iar din asem?narea triunghiurilor MEB ?i MCG rezult? c?
Înmul?im cele dou? rela?ii ?i gata! Later edit:sau am gre?it undeva sau de nu-mi folose?te la nimic faptul ca triunghiul dat isoscel.
|
O litera este scrisa gresit si alta lipseste.
Asta nu e o problema, dar ati dmonstrat doar ca un punct de pe cerc are acea proprietate, dar cealalta implicatie?
Ati folosit faptul ca triunghiul este isoscel, cand ati afirmat asemanarea acelor triunghiuri. Daca triunghiul nu este isoscel, acele triunghiuri nu mai sunt asemenea(Laturile AB si AC nu sunt tangente la cercul nostru, decat daca triunghiul ABC este isoscel.)
--- C.Telteu
|
|
[Citat]
O litera este scrisa gresit si alta lipseste. |
Corectez imediat,multumesc [Citat] Asta nu e o problema, dar ati dmonstrat doar ca un punct de pe cerc are acea proprietate, dar cealalta implicatie? |
Pai,aici e problema... [Citat] Ati folosit faptul ca triunghiul este isoscel, cand ati afirmat asemanarea acelor triunghiuri. Daca triunghiul nu este isoscel, acele triunghiuri nu mai sunt asemenea(Laturile AB si AC nu sunt tangente la cercul nostru, decat daca triunghiul ABC este isoscel.) |
Da,aveti dreptate,trebuia sa ma gandesc.
--- Anamaria
|
|
Cer scuze... a fost tarziu si nu am citit problema exact.. O rezolvasem initial pe cea in care media aritmetica, nu cea geometrica apare in enunt... (Cred ca in loc sa caut locul geometric, am cautat locul aritmetic... deformatie profesionala.)
--- df (gauss)
|
|
[Citat] a fost tarziu ... |
Dupa ora României era ,cum ar zice Napoleon,atât de târziu încât putea fi devreme ![](images/smile.gif) .
De asta imi si place forumul asta atat de mult!
--- Anamaria
|
|
Pentru implicatia cealalta, putem zice asa:
1. Fie un punct P situat in interiorul triunghiului ABC si in exteriorul cercului circumscris tr. BCI. Fie E', G' si F' proiectiile lui pe BC, AC si respectiv AB. Fie M acel punct al cercului de care vorbim situat pe PE'. Avem
deci P nu poate fi localizat cum am spus mai sus.
2. Iau acum punctul P in interiorul cercului si al triunghiului ABC. Perpendiculara in P pe BC intersecteaza cercul intr-un punct M si pe BC in E'. Avem acum aceleasi relatii ca la 1. dar cu semnul de inegalitate invers.
Concluzia, singurele puncte din interiorul triunghiului cu proprietatea ceruta sunt cele de pe arcul cercului circ. triunghiului BCI situat in interiorul triunghioului ABC.
--- C.Telteu
|