Se considera un triunghi ABC , cu M mijlocul laturii

, N mijlocul laturii

si

Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este echilateral.

[Citat] Se considera un triunghi ABC , cu M mijlocul laturii , N mijlocul laturii si Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este echilateral.

1. În primul rând se arat? c? triunghiul este isoscel: BC=AC.
2. Cu teorema sinusurilor în triunghiul BNC se arat? c? BN este în?l?ime în triunghiul original.

P.S. Este posibil ca o solu?ie sintetic? s? nu existe.

Sa zicem cam asa:

MN e linie mijlocie,deci e paralela cu AB.Unghiul BNM e congruent cu ABN (alt.int).Apoi patrulaterul ABMN e inscriptibil (folosim ipoteza).Deci ABMN e trapez isoscel.Prin urmare BC=AC.
Cum unghiul MAC are 30 de grade si e unghi inscris in cercul ABMN, atunci MN este egala cu raza,deci AB=2MN, e diametru ,adica unghiul BNA e drept,deci BN e si inaltime.
Prin urmare AB=BC. Triunghiul ABC e echilateral.

[Citat] Se considera un triunghi ABC , cu M mijlocul laturii , N mijlocul laturii si Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este echilateral.

Din asemanarea triunghiurilor AMC si BNC rezulta AC=BC.
Daca N' este proiectia lui C pe BN, atunci CN'=BC/2=CN, de unde N si N' coincid, deci BN este mediana si inaltime, de unde AB=BC.

Tot o problema cu bisectoare:
Fie ABC un triunghi ascutit unghic,in care [AA';[BB';[CC' sunt bisectoare interioare,

.Sa se arate ca daca A'B=B'C=C'A atunci triunghiul este echilateral.

[Citat] Tot o problema cu bisectoare: Fie ABC un triunghi ascutit unghic,in care [AA';[BB';[CC' sunt bisectoare interioare, .Sa se arate ca daca A'B=B'C=C'A atunci triunghiul este echilateral.

Nu prea inteleg de ce trebuie sa avem un triunghi cu varfuri ascutite, asa ca o sa fac abstractie. Plecam insa cu un triunghi nedegenerat, ca sa putem duce bisectoare..

Deoarece elementele geometrice specificate sunt atat de disparate, solutia cred ca se poate da rapid numai pe partea "algebrica". Fie deci a,b,c lungimile laturilor triunghiului dat. Atunci calculam lungimilie segmentelor ce apar in enunt, in principiu din teorema bisectoarei, formand proportii derivate:

(Nu am lucrat mai sus cu lungimi orientate, ci doar cu lungimi.)
Rezulta de aici

Prin permutari ciclice in notatie A > B > C > A, deci a > b > c > a si A' > B' > C' > A' obtinem formal si celelalte formule. Cititorul constiincios este rugat sa scrie toate aceste formule mai intai pe hartie si sa incerce sa gaseasca o solutie, apoi sa o aduca sub forma ei cea mai simpla. Acelasi cititor poate gasi insa intr-una din zilele sale de lene sau de dezinteres total solutia mai jos, pentru a imbunatati statistica numarului rezolvarilor vazute fata de numarul problemelor vazute. Sau pur si simplu din lipsa de timp.
solutie


N.B. O problema noua si de o cu totul alta culoare ar fi bine de plasat intr-un subiect nou, deoarece cei ce au raspuns si considera ca afacerea e incheiata nu mai dau o data pe aici... (decat daca se mira ce mai era de spus...)