Fie
o functie continua. Atunci are loc:
Exercitiul este un exercitiu tipic de teoria distributiilor, care se extinde la functii continue (prin aproximare sau prin analizarea solutiei mai bine.)
Demonstratie:
Deoarece relatia este liniara in f si are loc "evident" pentru functia constanta 1 (pe [0,1]), ajunge sa o demonstram pentru functii continue f cu f(1)=0.
Fie epsilon>0.
Aratam pentru f continua pe [0,1] cu valori reale cu f(1)=0 ca putem sa majoram modulul functiei de sub integrala cu acel epsilon inmultit cu zece mii (sau cu ceva usor de descris). Acest lucru ar trebui sa rezulte relativ repede din urmatoarele argumente simple:
f este continua pe compactul [0,1], deci marginita in modul de ceva ce se numeste norma (infinit a) lui f (la alegrea cea mai buna a acestei margini).
din continuitatea lui f in 1 rezulta ca exista un delta(epsilon), astfel incat pe intervalul
functia f sa ia in modul valori mai mici decat epsilon. Alegerea este desigur independenta de n. Rog a se face o pauza acum si a se incerca majorarea evidenta pe coate proprii.
Daca totusi timpul preseaza, un click rezolva problema...
majorare
Nota: Pana la problema de mai sus avem de stiut si limita din n/(n+1)...
Nota: Propozitia are loc pentru functii f pe [0,1] marginite, masurabile (deci integrabile (Legesgue)), si continue in zero.
Access general
Conţine mesaje necitite
