Sa se demonstreze inegalitatea:
x/(1+x)<ln(1+x)<x, x>0

Sa se demonstreze inegalitatea:

pentru orice x real pozitiv.


Aplicand Lagrange pentru functia derivabila ln, definita pe (0,infinit), pentru punctele 1, 1+x din domeniul de definitie, rezulta existenta unui punct intermediar c>1 cu:

Am facut rost de o inegalitate.

Pentru cealalta, este bine sa vedem intai ce am obtine mai sus, daca am lucra cu un y<0 (desigur ca y>-1) in locul lui x. Atunci punctele 1, 1+y stau "invers" pe axa, gasim un c intermediar ca mai sus, dar acum c< 1. Avem..

Ramane sa luam y = -x/(1+x), un element din intervalul (-1,0) pentru x>0.