1)Demonstrati ca un numar este divizibil cu 3 respectiv 9 daca si numai faca suma cifrelor lui este divizibila cu 3 respectiv 9
2)Demonstrati teorema lui Wilson (p-1)!=-1mod p daca si numai daca p este prim.
3)Dem ca pentru orice numar prim Fermat q=(2 la p)-1 numarul p este prim.

[Citat] 1)Demonstrati ca un numar este divizibil cu 3 respectiv 9 daca si numai faca suma cifrelor lui este divizibila cu 3 respectiv 9 2)Demonstrati teorema lui Wilson (p-1)!=-1mod p daca si numai daca p este prim. 3)Dem ca pentru orice numar prim Fermat q=(2 la p)-1 numarul p este prim.

(1) Argumentarea foloseste lucrul normal cu congruente si faptul ca lucram peste baza zece. Acest zece este congruent cu unu modul 9 (deci si modul 3), de aceea avand aceasta proprietate buna de testare a calculelor proprii. Dat fiind un numar de (k+1) cifre cu cifrele

ordonate de la cifra unitatilor, zeciilor, sutelor, ... incolo, avem modulo 9 faptul ca 10 = 1, deci si pentru puteri, deci

Acelasi lucru este in particular adevarat si modulo 3 in loc de modulo 9, deoarece 3 divide 9. Rezulta cele cerute.

(2) Aceasta teorema este o particularizare a unei teoreme de structura in grupurile finite, care afirma ca "produsul" elementelor intr-un grup comutativ finit

(produs facut folosind operatia grupului notata multiplicativ) este egal cu produsul elementelor (de ordin (unu si) doi, deci...) care sunt propriile inverse.
Demostratia pentru un grup oarecare este "mai simpla" pentru ca avem enuntul atat de precis, incat stim pe ce directie sa facem excursia pentru solutie. Anume: Elementele grupului se grupeaza in perechi de elemente ce sunt inverse unul altuia. Aceasta "grupare" nu da intotdeauna de elemente din pereche distincte, aici intervin duble in pereche elementele de ordin unu, doar elementul neutru, si doi. Cate elemente de ordin doi se afla intr-un grup... este ceva ce depinde de structura grupului. (Posibil sunt cazurile extreme toate fara unul , dar si niciunul.)

Acum pentru teorema lui Wilson, este clar ca ne legam de grupul cu elementele
1 modulo p
2 modulo p
....
(p-1) modulo p
in care doar un element are ordinul doi, anume
(p-1) modulo p = (-1) modulo p,

Tema: de ce ?
Lucrurile ar trebui sa fie acum clare.

Exemplu pentru p = 13.

sage: Corp = GF(13)
sage: Corp
Finite Field of size 13
sage: Corp.list()
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]
sage: for x in Corp.list() :
....: if not x == Corp.zero_element() :
....: print "Inversul lui", x, "este", x^(-1)
....:
Inversul lui 1 este 1
Inversul lui 2 este 7
Inversul lui 3 este 9
Inversul lui 4 este 10
Inversul lui 5 este 8
Inversul lui 6 este 11
Inversul lui 7 este 2
Inversul lui 8 este 5
Inversul lui 9 este 3
Inversul lui 10 este 4
Inversul lui 11 este 6
Inversul lui 12 este 12

De aceea:

Cel tarziu acum trebuie sa se vada clar care este structura din jurul lui Wilson.

(3) Daca n=ab se descompune netrivial (adica 1 < a,b < n) peste numere naturale, atunci desigur ca din ceva de forma

rezulta ca

se divide cu

si prin simetrie daca vrem si cu

. Deoarece 1 < a,b <n, ambii factori sunt netriviali.

Prin contrapozitie se obtin cele cerute.