Care este probabilitatea ca, alegand aleator si independent 3 numere x,y,z in [0,1] sa avem x > yz ?

Nu stiu sa rezolv probleme cu probabilitati in cazul continuu, adica atunci cand nu putem aplica formula clasica "Nr cazuri favorabile"/"Nr cazuri posibile".. :

Probabilitatea este

.
Alegerea numerelor

la întâmplare este chivalent? cu alegerea la întâmplare a unui punct din cubul unitate. Condi?ia

(care e totuna cu cea din enun?) înseamn? c? punctul se afl? deasupra suprafe?ei generate de func?ia

Atunci probabilitatea este raportul dintre volumul acelui corp ?i volumul cubului. Volumul de sub suprafa?a men?ionat? fiind

ob?inem rezultatul enun?at.

[Citat] Probabilitatea este . Alegerea numerelor la întâmplare este chivalent? cu alegerea la întâmplare a unui punct din cubul unitate. Condi?ia (care totuna cu cea din enun?) înseamn? c? punctul se afl? deasupra suprafe?ei generate de func?ia Atunci probabilitatea este raportul dintre volumul acelui corp ?i volumul cubului. Volumul de sub suprafa?a men?ionat? fiind ob?inem rezultatul enun?at.

Multumesc.

Iat? ?i o poz?:

[url]http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php?xmin=0&xmax=1&ymin=0&ymax=1&
zmin=Auto&zmax=Auto&f=x*y

Nu insist a spune neaparat un lucru interesant, dar in cazul de fatza (si in cazuri analoage) se poate trece la a aplica un "Monte-Carlo", metoda numita si "poor man's probability theory", unde poor s-ar traduce poate sub forma "sarac cu duhul".

De multe ori insa, o probabilitate nu se poate calcula explicit (de exemplu probabilitatea de exercitare la bursa a unei optiuni americane intr-un anumit interval de timp, ca sa avem un exemplu care filtreaza ceva miliarde de $ pe an), iar o implementare rapida/optima a unui Monte-carlo se dovedeste a-i face bogati cu duhnet pe cei saraci cu duhul...

Este exact motivul pentru care scriu cateva linii de cod:

(Acel n( digits=5 ) cere valoarea numerica a unui numar rational cu 5 zecimale.)

Pe scurt:

daca nu avem nici o idee, programam repede. Vedem un numar si ne intrebam mai departe daca stim sa-l facem rost de undeva. (Uneori structura numarului da de gandit... Este o problema de ghicit ceva mai inteligenta decat cea cu "ce numar urmeaza in sirul...")

daca suntem stapani pe situatie si dam de o integrala, dar aceasta e greu de calculat, incercam intai sa calculam numeric integrala. Daca nu apar "fenomene oscilatorii", am castigat. Daca inca avem probleme, recurgem la Monte-Carlo... In "industrie" se prefera Monte-Carlo, pentru ca codul se poate usor scrie si administra...

Tema de casa:
Se aleg independent la intamplare patru numere reale (uniform distribuite) in intervalul [0,1].
Care este probabilitatea ca suma primelor trei sa fie strict mai mare decat al patrulea numar? De ce?

Nota: Codul aferent este usor tiparit:
Monte-Carlo

Integrala (in 4D) de calculat se intelege usor...
Integrala

sage: integrate( integrate( integrate( integrate( 1, t, 0, 1-x-y-z ), z, 0, 1-x-y ), y, 0, 1-x ), x, 0, 1 )
1/24
sage: 1./24
0.0416666666666667

Mai este de impartit la volumul in 4D al cutiei de latura unu, care este unu.


Tema de casa pentru cei ce chiar vor sa inteleaga probabilitati continue:
Generalizare.