Un elev a cumparat de la librarie 3 gume ,7 linii 7 caiete.Adoua oara a cumparat7 gume 3 linii 4 caiete.A treia oara a cumparat4 gume,7 linii, 3 caiete.Stiind ca a platit prima data30400 lei, a doua oara 25700 si a treia oara 41900 lei aflati cat costa o guma ,un caiet si o linie.

Incep sa am respect pentru clasa a IV-a...

Am tiparit ecuatii (cer scuze, inteleg ca abia pe a V-a e voie, am la fel de mare respect si pentru clasa a V-a...) in computer si am obtinut:

sage: var( "G,L,C" );
sage: eq1 = ( 3*G + 7*L + 7*C == 30400 );
sage: eq2 = ( 7*G + 3*L + 4*C == 25700 );
sage: eq3 = ( 4*G + 7*L + 3*C == 41900 );
sage: solve( [eq1, eq2, eq3], G,L,C )
[[G == 435300/167, L == 910000/167, C == -371300/167]]

Am cules cum trebuie ecuatiile din enunts ?!
(Daca nu era cu cumparat sorturi diferite de lucruri, ceea ce presupune bani, ci cu absentze la materiile G,L,C, atunci solutia era simpla: O voce electronica spune: Du-te si mai faaaa, ca-mi da cu numitori prea maaari...)


Cred ca problema ar fi cea ce corespunde lui:

sage: eq1 = ( 3*G + 4*L + 7*C == 30400 );
sage: eq2 = ( 7*G + 3*L + 4*C == 25700 );
sage: eq3 = ( 4*G + 7*L + 3*C == 41900 );
sage: solve( [eq1, eq2, eq3], G,L,C )
[[G == 900, L == 5000, C == 1100]]

Atunci solutia, cum stim de pe clase mai mari, cu liniutze sau ipoteze de cumparat mai mult sau mai putin, va avea de ascuns undeva determinantul sistemului, care este:

sage: A = matrix( 3,3, [3,4,7, 7,3,4, 4,7,3] )
sage: A.determinant()
182

Un prim pas de a mai decima marimea lui este de a aduna tot ce a cumparat elevul in toate zilele, astfel obtinand facand calculul ( 30400 + 25700 + 41900 ) / 14 = 7000 . Dar si atunci avem cumva sa facem rost de ceva ce ascunde la nivel de a IV-a noul determinant mare,

sage: B = matrix( 3,3, [3,4,7, 7,3,4, 1,1,1] )
sage: B.determinant()
13

Propun ca din punct de vedere didactic sa mai asteptam pana pe a VIII-a (si nu pe a V-a cum vor alte probleme propuse), pentru a folosi aceasta ecuatie noua si simpla pentru a reduce numarul variabilelor din primele doua ecuatii, si de a rezolva pana la capat.

[Citat] Incep sa am respect pentru clasa a IV-a...

si eu...

[Citat] Propun ca din punct de vedere didactic sa mai asteptam pana pe a VIII-a (si nu pe a V-a cum vor alte probleme propuse), pentru a folosi aceasta ecuatie noua si simpla pentru a reduce numarul variabilelor din primele doua ecuatii, si de a rezolva pana la capat.

De acord!Eu de cand tot spun (la scoala,acasa, pe Forum)dar nu ma asculta nimeni...

Solutia pentru clasa a VIII-a (poate) este urmatoarea.
Avem de rezolvat sistemul cu ecuatiile:

Adunand ecuatiile "toate la una", deci compunand formal

, obtinem o noua ecuatie, explicit:

Deoarece 3+4+7=14, facand suma de pe partea dreapta si impartind-o cu 14, obtinem ceea ce am putea numi (E4) / 14, anume:

Inlocuim una dintre ecuatii, sa zicem ca ultima, pentru ca pe partea dreapta vad un numar mai mare, obtinem sistemul echivalent (de ce... deoarece ne aflam pe a XI pentru a putea raspunde cu sigurantza - in orice caz obtinem un sistem implicat la nivel de a VIII. De aceea pe a VIII-a se impune verificarea solutiei uneori/deseori... - avem numai o implicatie, pentru cealalta e nevoie de verificare)

Acum, pentru clasa a IV-a, cel mai usor ar fi de explicat inlocuirea relatiei L=(7000-G-C) obtinuta din (E5) in primele, astfel reducand din numarul de variabile ale lor. (Am luat L, deoarece coeficientii lui L sunt cei mai mici...) Obtinem

Simplificam, colectam literele pe partea stanga a semnelor egal si constantele pe dreapta, dam de:

Progresul este clar, primele doua ecuatii pot fi chiar desenate la nivel de a IV-a. Cu solutia stam inca greu, deoarece determinantul sistemului format de primele doua ecuatii are de-a face cu 13...

Acum pentru clasa a IV-a inca cel mai simplu este de a il scoate pe G din prima ecuatie, inlocuindu-l in cea de-a doua.
Obtinem:

Acum se vede bine chiar acel 13 in a doua ecuatie, facand calculele dam de forma explicita a ecuatiei, 13C = 4 * 2400 + 4700, si iata, in sfarsit am dat de doua exercitii genuine de clasa a IV-a, anume de a calcula 4 * 2400 + 4700 = 14300 si apoi 14300 / 13 = 1100.

Deci C = 1100.
Inlocuind ce am obtinut in prima ecuatie, obtinem G = 3C-2400 = 3*1100 - 2400 = 3300 - 2400 = 900.
Inlocuind ce am obtinut in a treia ecuatie, obtinem L = 7000 -G -C = 7000 -900 -1100 = 7000 - 2000 = 5000.



N.B. Pentru alta audienta, anume pentru cei ce se pregatesc pentru exemenul de dupa a VIII-a sau de dupa a XII-a, dupa ce rezolvam o astfel de problema, ne putem verifica pas cu pas. Din pacate folosind calculatorul. Din fericire repede. Iata aici liniile pe care le-as tipari in sage:

sage: var( "G,L,C" );
sage:
sage: eq1 = ( 3*G + 4*L + 7*C == 30400 );
sage: eq2 = ( 7*G + 3*L + 4*C == 25700 );
sage: eq3 = ( 4*G + 7*L + 3*C == 41900 );
sage:
sage: eq4 = ( eq1+eq2+eq3 )
sage: eq4
14*L + 14*G + 14*C == 98000
sage: eq5 = eq4/14
sage: eq5 . expand()
L + G + C == 7000
sage: eq5 = eq5 . expand()
sage:
sage: eq1a = ( eq1 - 4*eq5 ) . expand()
sage: eq1a
3*C - G == 2400
sage:
sage: eq2a = ( eq2 - 3*eq5 ) . expand()
sage: eq2a
4*G + C == 4700
sage:
sage: eq2b = ( 4*eq1a + eq2a ) . expand()
sage: eq2b
13*C == 14300
sage:
sage: ( eq2b / 13 ) . expand()
C == 1100

Ca si in mesajul precedent, este bine de verificat solutia cu cea oferita de computer:

sage: solve( [ eq1, eq2, eq3 ], G,L,C )
[[G == 900, L == 5000, C == 1100]]


Astfel, paginile de la capatul unor manuale devin nenecesare, iar noile manuale trebuie sa se concentreze pe idei, nu neaparat pe calcule...