Stabiliti ecuatiile proiectiei ortogonale pe planul

ale dreptei

.

In primul rand: Se intersecteaza planul dat cu dreapta data? Daca da, unde?
(Daca ne e lene de calcule, de exemplu mie, ce soft sa folosim?)

Ce normala are planul dat? Sa o notam cu n.

Ce directie are dreapta data? Sa o notam cu k.

Ce vector perpendicular pe n este o combinatie liniara intre n si k si ce are de-a face aceasta cautare cu produsul scalar (poate) al lui n cu k ?

Eu m-am gandit sa aleg doua puncte de pe dreapta.. pe care sa le proiectez pe plan si dupa aceea sa aflu ecuatia dreptei care trece prin cele doua proiectii...

Desigur, perfect valabil, dar calculul proiectiei este un lucru relativ anevoios (fara computer), de aceea am zis sa ma leg de punctul de intersectie - el se gaseste usor si este "gata proiectat". Putem lua si alt punct si sa-l proiectam doar pe acesta, dar cred ca partea geometrica este cel mai bine si usor pusa in evidenta, daca ne legam direct de directia dreptei proiectate...

Coordonatele punctului de intersectie a planului cu dreapta trebuie sa fie solutii pentru ambele ecuatii... si tinand cont ca avem 3 necunoscute si doar doua ecuatii nu pot sa-mi dau seama cum le-as putea afla. Ar trebui sa fie usor dar cred ca am uitat multe din partea teoretica.

Am reusit pana la urma sa o rezolv. Postez rezolvarea in caz ca e cineva interesat sau in cazul in care am gresit sa ma corectati.
Am ales doua puncte de pe dreapta

si

. Normala planului este

. Pentru a afla o dreapta care trece prin punctul A repectiv B avem urmatorul sistem de ecuatii:

. Inlocuiesc in ecuatia planului ca sa il aflu pe t.

Il inlocuiesc pe t in ecuatiile initiale si aflu coordonalele proiectiei lui A.

. Analog pentru B' am aflat

. Si dupa aceea am aflat ecuatia dreptei prin taieturi:

.

Este exact ceea ce am dorit sa incurajez, munca depusa este deja rasplatita.

Solutia ce o dau nu este neaparat mai buna, poate mai geometrica, si oricum am promis-o. De dat se dau deci planul (P) si dreapta (d):

(k este un vector, de fapt ca si D, doar in fizica se insista sa se puna sageti peste pentru a mai ingreuia scrisul. Deoarece nu am pus sageti niciodata cand am lucrat cu vectori pe spatii Hilbert, nu pun nici acum.)

Directia dreptei este deci acest k. (Sa se dea valori intuitiv lui t, daca intuitia geometrica nu este deja formata.) Pentru a gasi intersectia lui (P) cu (d) avem de rezolvat un sistem, il tiparesc direct in soft:

dan@riemann:~$ sage
----------------------------------------------------------------------
| SAGE Version 3.0.5, Release Date: 2008-07-11 |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information. |
----------------------------------------------------------------------

sage: var( "x,y,z, t" );
sage: eq1 = ( x + 5*y -z -25 == 0 );
sage: eq2 = ( x+1 == 4*t );
sage: eq3 = ( y == 2*t );
sage: eq4 = ( z-1 == 3*t );
sage: ?solve
sage: solve( [ eq1, eq2, eq3, eq4 ] , x,y,z,t )
[[x == 97/11, y == 54/11, z == 92/11, t == 27/11]]


Bun, avem punctul de intersectie.

Care este acum proiectia lui k (vazut ca vector cu extremitatea de plecare in origine) pe planul paralel cu (P) ce trece prin origine, deci cu cel de ecuatie (x+5y-5=0) ?
Pentru aceasta cautam o descompunere:

Luand mai sus produsul scalar cu n, si folosind anularea produsului scalar, (n,p)=0, rezulta:

Il avem pe a, deci si proiectia p,

Acest vector de directie il mai putem lungi (de 27 de ori), ca sa nu caram numitori dupa noi.
Dreapta (proiectie a lui (D)) cautata este deci data de ecuatia:

Cum mi se intampla des, sigur am gresit pe undeva la calcule... Dar cam asa am crezut eu ca am calcule relativ in limite normale. (Am incercat sa le inserez pe toate...)