Sa se gaseasca punctele de pe elipsoidul

in care normalele intersecteaza axa Oz. Offtopic:
Multumesc pt ajutorul de la problema anterioara, imi cer scuze ca nu am reusit sa raspund la timp.

Inainte de a da solutia, o intrebare, ca sa stim macar de ce culoare va fi solutia... Care puncte de pe elipsoid sunt solutii particulare (in mod "evident" si apoi care poate in mod mai putin evident, dar "desigur" din motive de simetrie a plasarii spatiului tangent la un punct...)

(Acesta este un forum, asa ca e bine sa discutam...)

Consideram elipsoidul ceva mai general dat de ecuatia F(x,y,z)=0 unde:

Fie

un punct de pe el. Planul tangent se obtine atunci prin "dedublare", lucru pe care niciodata nu l-am inteles pana ce nu am auzit de dezvoltarea Taylor a lui F in jurul acestui punct. Functia polinomiala F se rescrie

Atunci polinomul Taylor de gradul unu, deci aproximarea liniara a lui F in jurul punctului fixat, este ceea ce se obtine daca desfacem parantezele si pastram doar monoame in (x-x0), (y-y0), (z-z0) de grad (cel mult) unu. (Termenul liber dispare, deoarece punctul e pe elipsoidul de ecuatie F=0.)

Acesta este planul tangent la elipsoid in punctul fixat.
Normala (nenormata daca a,b,c...) la acest plan are componentele respectiv egale cu coeficientii lui x,y,z in aceasta ecuatie, eventual rescalate.
Consideram dreapta prin punctul dat cu directia normala:

Ce valori poate sa ia t, ca sa dam de un punct de componente (0,0,?) de pe axa Oz?

Daca ambele coordonate

sunt diferite de zero, scriind ce obtinem pe prima componenta si egaland cu zero dam de ceva ce se bate cap in cap cu (a diferit de b).

Daca cel putin una din aceste coordonate este nula, ecuatia pentru cealalta coordonata poate fi usor rezolvata dupa t.

Raspunsul este deci: Punctele cautate sunt cele de pe cele doua "elipse mari" din elipsoid, obtinute prin intersectia cu planele xOz (y=0) respectiv yOz (x=0).

N.B.
Ma asteptam ca din motive de simetrie sa se gaseasca aceste puncte.
(De exemplu: planul tangent la elipsoid intr-un punct de pe prima "elipsa mare" solutie este simetric fata de planul xOz, deci normala ... se afla in xOz si va taia axa Oz...)
Macar punctele (0,0,+c) si (0,0-c) trebuiau vizionate de cei ce au mancat vreodata o lubenitza...