[Citat] Unde

Nu, nu e corect. Calculul, desfasurat, ar arata asa:

, si acum folosim ca

, etc.
Greseala este ca

nu este

, deoarece nu suntem in cazul de nedeterminare

Limita, de fapt, nu exista (nici o functie periodica neconstanta nu are limita la

Bun, aceasi intrebare: De ce are loc:

[Citat] Unde

Ce regula se aplica?

[Citat] Unde

Daca consideram x a lua valori "particulare" in sirul

ce valori se obtin pentru functia f(x) definita pentru x >0 prin relatia:

Draga vero2010, problema initiala in forma in care a fost pusa este usor echivoc tiparita:

[Citat]

Se pot intelege doua lucruri diferite:

(A)

Solutia este fie intr-o linie, observand ca are loc inegalitatea:

si aplicand criteriul clestelui, fie prelucrand-o in modul obisnuit, incat sa transformam exponentierea in inmultire/impartire si aplicand de fapt pana la urma tot o minorare/majorare, deoarece problema a fost pusa incat sa nu se incadreze in regnul general de probleme rezolvabile cu l'Hospital. Rescrierea este in astfel de cazuri:

Cum s-a mentionat mai sus, sub limita nu avem o expresie fezabila prin l'Hospital, deoarece numitorul tinde la infinit, dar numaratorul este o functie periodica ce se comporta "aproape de infinit" tot asa cum se comporta in intervalul [0, 2pi], in care este o functie bine definita cu valori intre ln(1) si ln(2). In orice caz, este o expresie marginita, iar numitorul fiind nemarginit putem continua...

Aceasta "a doua solutie", este de fapt tot prima solutie cu cateva reformulari.

(B)

Verdictul este in cazul acesta "Nu exista limita!", care se argumenteaza intr-un mod mai putin standard (sau des fredonat) la nivel de liceu, anume:

Consideram variabila x ca tinzand la infinit prin luarea valorilor din sirul:

Atunci acel

ia mereu valoarea (1+0), iar dupa exponentiere dam de 1.
(Daca limita exista, aceasta poate fi doar unu, dar...)

Consideram variabila x ca tinzand la infinit prin luarea valorilor din sirul:

Atunci acel

ia mereu valoarea (1+sin(-pi/2))=(1+(-1))=0, iar dupa exponentiere dam de ZERO.

Deoarece am facut rost de doua siruri ce tind la infinit, pentru care functia de sub limita converge la doua valori diferite, rezulta ca limita nu exista.

In cele de mai sus a fost amintita limita de calculat:

Aceasta limita nu exista.

Daca consideram x a lua valori "particulare" in sirul

atunci acel (1+sin x) din baza functiei ce trebuie analizata ia valoarea (1+0)=1.
Deci valorile functiei de sub limita dau nastere la sirul constant 1.

Daca consideram x a lua valori "particulare" in sirul

atunci acel (1+sin x) din baza functiei ce trebuie analizata ia valoarea (1+(-1)) = 0.
Deci valorile functiei de sub limita dau nastere la sirul constant 0.

Deoarece avem doua siruri ce tind la infinit, pentru care valorile functiei de sub limita tind la numere diferite, 1 respectiv 0, limita nu exista.

Problema initiala este o incercare de a da de gandit (sau o capcana) pentru cei ce cunosc urmatoarea schema:

Fie f(x) si g(x) doua functii care sunt definite in "semivecinatatea unui punct a" (eventual impropriu).
(Un punct impropriu este la liceu fie plus infinit, fie minus infinit.
Atunci f,g trebuie sa fie definite pe un interval de forma (M,infinit) in primul caz, respectiv (-infinit, -M) in al doilea... Punctul a ar putea sa fie altfel un numar obisnuit, de exemplu 0, iar atunci lucrurile ar fi bine puse daca de exemplu f si g sunt definite pe (0,1) sau (-13,0)...)

Se cere sa se calculeze:

"Schema" care conduce de cele mai multe ori la aplicarea lui l'Hospital este urmatoarea:
DACA
sunt indeplinite conditiile urmatoare:

f ia valori care sunt >-1, pentru a avea o buna definire a expresiei de sub limita.

f(x) tinde la zero pentru x tinzand la a (in domeniul lui f (si g))

g(x) tinde la zero pentru x tinzand la a (in domeniul lui g (si f))

Fractia f(x) / g(x) tinde la o limita l (care in majoritatea cazurilor de pregatire de bac se obtine cu l'Hospital), i.e. exista

ATUNCI

Demonstratie:
Rescriem in mod uzual, transformand ridicarea la putere in inmultire, prin inserarea functiilor exp si ln:

N.B. Prima postare a fost o aluzie ascunsa la aceasta schema. Schema nu este insa aplicabila, deoarece nu ne aflam in cazul in care acel f(x) specific sa tinda la 0. Demonstratia de mai sus esueaza in punctul in care ar trebui sa apara o limita pentru y care tinde la 0 din ln( 1+y ) supra y.

E foarte clar, ?in s? v? mul?umesc pentru efort, dac? ?i un elev mediu ca mine a priceput înseamn? c? e foarte bine expus? demonstra?ia.

Acum, eu mai am înc? dou? nel?muriri:

1. de ce crede?i c? am fost notat cu punctajul maxim la ?coala pentru rezolvarea mea, ?inând cont c? profesoara este metodic? ?i foarte meticuloas? ? E cumva o metod? "acceptat?" neoficial, chit c? nu e corect? 100% ?
2. din cele 5p posibile, cât a? fi luat la bac dac? rezolvam problema a?a ?

[Citat] E foarte clar, ?in s? v? mul?umesc pentru efort, dac? ?i un elev mediu ca mine a priceput înseamn? c? e foarte bine expus? demonstra?ia. Acum, eu mai am înc? dou? nel?muriri: 1. de ce crede?i c? am fost notat cu punctajul maxim la ?coala pentru rezolvarea mea, ?inând cont c? profesoara este metodic? ?i foarte meticuloas? ? E cumva o metod? "acceptat?" neoficial, chit c? nu e corect? 100% ? 2. din cele 5p posibile, cât a? fi luat la bac dac? rezolvam problema a?a ?

1.-In lume se mai petrec si lucruri misterioase....dar iti dai seama ca nefiind corect n-are cum sa fie un lucru acceptat...''oficial'' sau ''neoficial''. Nu-mi pot da seama cum poate un profesor sa faca o asemenea greseala...dar eu in locul tau m-as duce la d-na profesoara si i-as arata greseala si faptul ca din cauza ''neatentiei'' ei eu invat lucruri gresite .
- In al doilea rand am impresia ca nu prea deschizi manualul...pentru ca altfel ai fi observat cum se scrie corect...Daca vrei sa iei intr-adevar 9+ la bac , prima carte ce trebuie deschisa este manualul si pe urma culegerile sau testele de bac.

2. -din punctul meu de vedere (desi nu sunt profesor) cred ca 0 ,avand in vedere ca a fost gresit din start.

P.S. : parerea mea.....

Inainte de toate eu sunt cel care trebuie sa multzumeasca.
Efortul insusi de bataie cu matematica nu este un lucru simplu, iar tenacitatea de nu lasa la jumatate un lucru inceput este o calitate care conteaza in viatza, loc in care drumul -si nu neaparat telurile izolate- conteaza.

Matematica este o mica arena de joc, cei ce inteleg din acest joc esenta sau detaliul sau estetica, vor deveni mai usor medici buni sau ingineri buni sau profesori buni sau ceea ce-si doresc cu nota de specific calitativ, pentru ca matematica aduce ordine in gandire si in plus -din pacate spre deosebire de exemplu de stiintele economice sau politice- lucrurile sunt fie albe, fie negre.

Depunctarea in caz de greseala este o problema de religie... mai mult, daca o profesoara / un profesor propune "in graba zilnica" la "tema din ziua cu pricina" cateva probleme, dintre care una nu se face tocmai dupa plan, dar toata lumea o abordeaza dupa plan, avem un fenomen in masa care este greu de repus corect pe picioare. Deoarece intr-o pregatire de examen increderea reciproca intre elev si profesor este mult mai importanta decat un detaliu ce nu va conta in mod sigur (bacalaureatul vine in matematica fara sicane, din motiv de ingreuiere fara motiv a compararii ulterioare cu baremul... Care ar fi de exemplu in cazul problemei initiale baremul...?!), se poate trece cu vederea... Exceptand unele cazuri in care se declara clar ca omul vrea sa fie sanctionat... (Pe mine, bunul meu profesor de mate m-ar fi sanctionat cu 0.5 puncte din zece pentru accidentul de mai sus de a insera si acel radical din zero ca prim element intr-un sir... Este un element care nu se afla in definitia functiei, exponentul devenind 1/0. De multe ori nu am luat "nota maxima" pe clasa din astfel de neatentii, lucru pentru care am intrat in facultate cu o rutina si atentie in detaliu deosebite. Cu eruditia am stat mai rau, stiu ce inseamna a fi parte din acel "nivel mediu"...)