Problema 3 de la Olimpiada Balcanic? de Matematic? 2010:

Solu?ii se pot g?si aici: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=42&t=347924

Intrebare: este 2 marginea cea mai buna?
De exemplu, pentru

putem înlocui 2 cu

[Citat] Problema 3 de la Olimpiada Balcanic? de Matematic? 2010: Intrebare: este 2 marginea cea mai buna? De exemplu, pentru putem înlocui 2 cu

O simulare de câteva miliarde de configura?ii de puncte sugereaz? c? num?rul

este marginea optim? (corespunde unui pentagon regulat).

Demonstra?ia acestui fapt pare dificil?. Problema este oarecum legat? de teorema Sylvester-Gallai care a r?mas deschis? câteva zeci de ani! (?i care în cele din urm? are o demonstra?ie pe trei rânduri).

Mul?umesc mult pentru r?spuns!
Recunosc c?, deocamdat?, nu vad leg?tura cu teorema lui Sylvester.

[Citat] Mul?umesc mult pentru r?spuns! Recunosc c?, deocamdat?, nu vad leg?tura cu teorema lui Sylvester.

M? refer la rezultatul urm?tor:

Se d? un num?r finit de puncte în plan, astfel încât orice dreapt? ce trece prin dou? puncte distincte con?ine un al treilea punct din mul?ime. Atunci punctele sunt colineare.

Leg?tura este deosebit de vag?, ce-i drept.

Nu, ?tiam ce înseamn? teorema lui Sylvester
Nu v?d leg?tura...

[Citat] Nu, ?tiam ce înseamn? teorema lui Sylvester Nu v?d leg?tura...

Teorema lui Sylvester poate fi frecat? în sensul sl?birii ipotezei de colinearitate. Un mod este de a "cuantiza" proprietatea de colinearitate a unor puncte, m?surând l??imea benzii minime ce le con?ine. Astfel, dac? l??imea respectiv? este zero, punctele sunt colineare. S? spunem c? ni?te puncte sunt d-colineare dac? pot fi incluse într-o band? de l??ime d.

Din p?cate, dac? modific?m în acest sens teorema lui Sylvester, nu ajungem la un rezultat rezonabil:

Ipotez?. Fie d>0. Se d? un num?r finit de puncte în plan cu proprietatea c?, oricum am alege dou?, exist? un al treilea astfel încât cele trei puncte sunt d-colineare.

Întrebare. Exist? o margine superioar? D (ce depinde de d) astfel încât toate punctele date s? fie D-colineare?

Pe de alt? parte, ipoteza de mai sus se poate înt?ri astfel:

A doua ipotez?. Fie d>0. Se d? un num?r finit de puncte în plan cu proprietatea c? oricare trei dintre ele sunt d-colineare.

Am ob?inut tocmai ipoteza problemei de la BMO!

Dup? cum am spus, leg?tura este cam for?at?.