P1. avem un cub ABCDa'B'C'D' cu muchia de 4 cm. Punctele E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P mijloacele muchiilor cubului respectiv A'B',B'C',C'D',D'A',AB,BC,CD,DA,AA',BB',CC',DD'. Fiecare colt al cubului este taiat dupa planul determinat de mijloacele a trei muchii concurente, de exmplu planul (ENF).
a) Sa se calculeze volumul corpului rezultat dupa eliminarea colturilor.
b)Sa se arate ca raportul dintre aria totala a cubului si aria totala a corpului rezultat dupa eliminarea colturiloe este egal cu 3-(radical din 3)
c)Sa se afle distanta dintre planele (ENF) si (LKP)

Pentru a avea o problema cu notatii compacte, consider un cub cu latura 2a.
(Deci a este 2 [cm], dar mi-e greu sa car dupa mine mereu numere si unitati de masura.)

(a)
Cubul are volumul (2a)(2a)(2a) = 8aaa.
Cubul are 8 varfuri. In fiecare din varfuri am extras o piramida trunghiulara de volum aaa/6 . (O baza triunghi dreptunghic isoscel de catete a, are aria aa/2, iar inaltimea corespunzatoare ei in tetraedrul din colt este a.) Volumul cautat este deci:

(b) Aria totala a cubului este 6 (2a)(2a).
La fiecare taiere de colt, extragem din aceasta arie totala 3 aa/2 (3 arii de triunghiuri dreptunghice isoscele de arie aa/2) si adaugam aria triunghiului echilateral de latura a(radical din 2). Deci avem de calculat:

(La ultimul pas am amplificat cu conjugata sau ne-am uitat la ce trebuie sa obtinem ...)

(c)
Pe scurt:
Planele (ENF), (A'BC'), (HGOJIM), (ACD'), (LKP) sunt paralele, ele "taie" din segmentul B'D pe care sunt perpendiculare 6 segmente de lungimi egale, deci distanta dintre planele (ENF) si (LKP) este 2/3 din lungimea diagonalei B'D a cubului, deci de marime: