sa se rezolve in multimea nr reale sistemul
x+y+z=3
x la 3 +y la a 3 +z la a 3=3
x la a 5 +y la a 5 +z la a 5=3

Avem deci de rezolvat sistemul:

si eu nu stiu acum la prima vedere de ce ne restrangem la numere reale.
Asa ca il voi rezolva in numere complexe. (Vom da doar de valori reale in solutii.) O prima observatie este faptul ca avem ecuatiile in forma omogena *simetrica* (daca permutam x,y,z aiurea intre ele ecuatiile stau pe loc), polinoamele ce stau in partea stanga a ecuatiilor sunt numite chiar polinoame Newton... Este bine de stiut ca orice polinom simetric (in variabilele x,y,z si eventual in mai putine sau mai multe) se poate exprima in mod unic in polinoamele simetrice elementare in variabilele ce intervin. Daca se da un sistem cu ecuatii simetrice, primul lucru care ne trece prin minte este sa folosim polinoamele simetrice elementare (ca baza Groebner) pentru a da de solutii.

Ce sunt polinoamele simetrice elementare? Ei bine, acestea sunt exact polinoamele ce apar in relatiile lui Vieta (ca polinoame de radacini...). Daca avem trei variabile x,y,z, acestea sunt:

Am continuat cu E4, E5, E6 doar pentru a aminti conventia de care avem nevoie in curand. Polinoamele Newton in aceste 3 variabile sunt:

si asa mai departe.

Se stie ca avem o relatie generala intre E-uri si N-uri, care cel mai usor se intelege (sau memoreaza) fixand randurile urmatoare:

si asa mai departe. De aici putem face recursiv rost de N1, N3, N5 in functie de E1, E2, E3. Desigur ca este ceva de calcul, dar cineva trebuie sa se murdareasca pe maini... Daca n-ar fi fost N5 in joc, am fi avut un joc relativ simplu, deoarece E1=N1, desigur, si identitatea fundamentala care ne ajuta sa rezolvam prin radicali ecuatia de gradul 3,

conduce foarte repede la formula pentru N3. Dar cum facem rost de formula pentru N5? Incercati macar sa vedeti unde este problema, daca vedeti asa ceva pentru prima oara...

Mai sus sunt doar "amintiri" pentru nivelul la care este pusa problema de fapt si de drept.
Inceputul solutiei:
Prin calcule dam de (0=E4=E5=...) :

Ecuatiile noastre se rescriu...

Ecuatia a doua se simplifica cu 3 si conduce imediat la o formula pentru E3,

.
Inlocuind in a treia ecuatie obtinem o ecuatie de grad cel mult doi in E2, dar ca intamplare se vede cu ochiul liber ca termenul in (E2 la patrat) are coeficientul (6-6), deci dispare. Este acum putina munca pentru a da de ecuatia (43-3+27-27)E2 = 72+72-27+3, de unde dam de E2=3. De aici, E3=3.3-8=1.

Solutiile x,y,z ale sistemului dat sunt via Vieta radacinile ecuatiei urmatoare in variabila U

deci sunt numerele 1,1,1 (in toate permutarile posibile)...


Cod sage:

Intrebari sunt binevenite...