Fetele laterale ale unei piramide patrulatere regulate cu interiorul gol, sunt oglinzi perfecte. Prin centrul bazei patrunde in interior o raza de lumina. Un foton al ei, se da cu capul de pereti de 6 ori, apoi iese (probabil ametit) pe unde a venit.
a) Ce relatie trebuie sa fie intre a-latura bazei si h-inaltimea piramidei, pentru ca afirmatia din enunt sa poata fi adevarata?
b) Care este numarul de solutii in cazul a) si cate sunt distincte?(ca lungime a drumului parcurs de foton)
c) Pentru

, sa se calculeze distanta maxima pe care o poate parcurge fotonul in interiorul piramidei, cand indeplineste conditia din enunt.(pe cea minima, deocamdata, nu am reusit sa o calculez nici eu)

ATENTIE! Am gresit, e vorba de piramida TRIUNGHIULARA!

Dupa primul citit am intrat in piramida si sunt putin ametit de cum se misca fotonul daca este tras mai mult sau mai putin aleator cu tunul. Am doar o mica nelamurire cu privire la (a) care sugereaza ca ar fi o legatura intre a si h...

(A)

Din motive de simplificare a discutiei, consider (macar pentru desen) cazul in care latura bazei este "relativ mica" in raport cu inaltimea.

Notam cu VADCD piramidada data de varf V si patrat de baza ABCD. Fie X centrul bazei. Pe aici intra fotonul.

Cel mai putin am fost ametit in cazul in care tot drumul fotonului se desfasoara intr-un plan, anume in planul ce contine axa de simetrie VX si segmentul M0, M1, unde M0 este mijlocul lui AD si M1 este mijlocul laturii paralele BC. Atunci segmentele (V,M0) si (V,M1) sunt inaltimi pe fete (apoteme). Din motive proprii notez lungimile lor cu R. Masura unghiului din V al triunghiului (V,M0,M1) o notez cu a (in loc de alfa, ca sa nu tiparesc prea mult). In ce mod se poate misca fotonul daca intra prin X se misca doar in planul (M0,V,M1) si iese tot prin X. Pentru aceasta facem urmatorul desen plan:

Plasam in planul complex punctul...
- V in origine
- M0 in

- M1 in

- si mai consideram pentru k intreg -

. De fapt, inmultirea cu acest numar complex implementeaza o rotatie de centru V (origine) si unghi ka a planului.
- Punctul X va fi notat si cu X0 si avem desigur punctele corespunzatoate obtinute prin rotatii succesive...

Mie greu sa desenez pe pagina de fata, dar pe pagina de hartie plecam cu triunghiul (V,M0,M1), trasam cercul de centru V ce trece prin M0, M1 si luam (prin rotatii succesive, iar pentru problema mai bine) prin simetrii succesive
- M2 simetricul lui M0 fata de (V,M1),
- M3 simetricul lui M1 fata de (V,M2), ...
si
- X1 simetricul lui X=X0 fata de (V,M1),
- X2 simetricul lui X1 fata de (V,M2), ...

Atunci pentru valori mici ale lui a, segmentul

(si doar aceste laturi) si corespunde unui drum prin piramida de lungime usor calculabila (daca asta e problema)...

(B)

Cazul particular de "biliard" 3D care se reduce la unul 2D a fost usor rezolvat, pentru ca putem usor controla figura obtinuta plecand cu triunghiul (T)=(T0) si construind triunghiuri usor parametrizate (T1), (T2), ... obtinute succesiv prin luari de simetric de triunghi fata de "fata canonica" in directia in care ne-am "extins". Mult mai complicata este situatia in spatiu, caz in care trebuie sa iteram simetricele piramidei date fata de cate una din fetele posibile - care sunt CINCI si pe care le notez cu 0 (pentru baza - am inteles ca am calcat pe oglinda cand m-am plasat in gand in interiorul priamidei) si respectiv cu 1,2,3,4 pentru fetele laterale... Atunci o parametrizare a unei piramide obtinute prin simetrizari succesive poate fi data luand "cuvinte" cu "literele" 0,1,2,3,4. (Eventual putem exclude ceva de forma 00, 11, 22, 33, 44 ca subcuvinte direct, dar excludem asa ceva oricum la pasul urmator...)

Obtinem daca folosim doar 1,2,3,4 drept reflexii posibile un "buchet" de piramide (P,cuvant) cu varful in V.
Probabil ca in plan eu am construit din buchet doar partea cu piramidele (P), (P;3), (P;31), (P;313), ...
Punctul X se corespunde dupa reflexiile succesive cu un punct (X;cuvant).
Unim aceste puncte.
DACA acest segment taie planele de simetrie in ordinea in care se specifica in (cuvant), atunci acest segment, rasfrangandu-l corespunzator, va corespunde cu un drum (biliard) in interiorul piramidei... Exista desigur multe solutii si pentru unghi diedru din V dat avem cam cate o problema noua...

Nu am rezolvat problema, am inteles insa ce se da si ce se cere?

Am recitit problema.
Se pare ca baza NU este oglinda. Reflexiile fata de baza ("litera" 0 din "cuvintele" de mai sus pica) nu exista.
Atunci am la indemana doar buchetul de piramide succesiv reflectate.
La (b) conditia de existenta este ca dupa sase reflexii ce nu se simplifica (si pot fi folosite) cel putin una din piramidele obtinute la a sasea reflexie (prin simetrii ce nu se simplifica) sa nu fie "data peste cap" fata de X si V.

Mai am de calculat, dar combinatorica nu este simpla...

Da, exista o conditie (relatie intre a si h)ce trebuie indeplinita pentru ca raza de lumina sa poata iesi pe unde a intrat dupa exact 6 reflexii(pentru h suficient de mare enuntul este posibil. Problema este acel "suficient de mare"). Aceasta relatie este relativ complicata. Eu am determinat-o in cazul in care am calculat si distanta(maxima) asa cum am spus mai sus. Pentru distanta minima, inca nu am reusit nici eu sa determin relatia si distanta.
Traseele posibile sunt 12; 6 de o lungime si 12 de alta lungime, cele 6 fiind mai lungi.

MII DE SCUZE!!

citind comentariul dv. am observat ca am gresit enuntul!!!! Era vorba de

INCA O DATA scuze pentru greseala! Am sa corectez si in enuntul initial ca sa nu mai chinui pe cineva.

ca sa rascumpar greseala am sa ma ocup si de cea patrulatera....

Deoarece aici pot apare confuzii, propun mutarea discutiei la problema "acelasi foton"