Aratati ca:

oricare x,y nr. reale.

x^2 + y^2 + x*y + 4 > 2*x*y + 2*x + 2*y

x*y - 2*x - 2*y + 4 > 2*x*y - x^2 - y^2

(x - 2)*(y - 2) > -(x - y)^2

(x - 2)*(y - 2) + (x - y)^2 > 0

[(x - y) + (y - 2)]*(y - 2) + (x - y)^2 > 0

(x - y)*(y - 2) + (y - 2)^2 + (x - y)^2 > 0

Ultima relatie o inmultim cu 1/[(x - y)^2] si obtinem, facand substitutia

(y - 2)/(x - y) = t:

t + t^2 + 1 > 0 (relatie adevarata oricare ar fi t real)

________________________________

Numai bine

Inmultind cu 2 (>0) si trecand totul pe o parte avem echivalent de demonstrat:

Inegalitatea data este deci satisfacuta pentru orice numere reale x,y, ea se transforma in egalitate doar daca cele trei patrate puse in evidenta sunt concomitent egale cu zero, i.e. x=y=2.

Merit? men?ionat, pentru elevii din clase mai mici, faptul c? inegalitatea e un caz particular al inegalit??ii

asta e cea mai buna solutie ! a domnului prof. ENESCU !