Sa se reduca la o forma canonica,precizand si baza in care are forma respectiva
f:R^2 cu valori in R
f(x,y)=x^2+ 2x*y +y^2
Multumesc(se mai precizeaza sa se foloseasca metoda/teorema lui Gauss

Incerc sa scriu ceva, fara sa pun accentul pe metode deosebite, cand avem probleme simple.
Forma patratica data se rescrie:

Am notat cu acel T (index dreapta sus) transpunerea.
Din punct de vedere didactic este bine sa mentionam:

- Daca o forma patratica este "data" de matricea A ca mai sus, schimbarea de baza folosind matricea B "duce" (actioneaza, opereaza) pe A (la dreapta, acolo unde sta B simplu) prin transformarea:

.
- In facultate se mai "vad" matrici mai ales in legatura cu scrierea unui morfism intr-o baza data. Atunci acest mod de transformare este "conjugarea" (automorfism interior daca ne legam de A-uri inversabile)

.

B este in ambele cazuri inversabila.

Fata de al doilea mod de actionare mai ales se fac studii indelungate si se ajunge in algebra liniara la un rezultat sau altul. Cuvinte cheie: valori proprii. Pentru acest mod de transformare a fost initial gandit algoritmul lui Gauss. Intamplator, acesta se poate usor perfectiona astfel incat sa avem de-a face cu o schimbare de baza ORTOGONALA. Pentru noi ajunge sa ne legam de un sistem de vectori proprii. De obicei oamenii lucreaza numai peste IR. De obicei valorile proprii sunt distincte. Atunci vectorii proprii sunt ortogonali unul pe celalalt si formeaza o matrice ortogonala (daca sunt destuli la numar...) Asta e tot.

Acum, in unele facultati, cei de la catedra amesteca voit structurile si cer aducerea in forma simpla a matricilor vazute ca aplicatii liniare o vreme lunga mai intai, apoi a matricilor vazute ca implementand forme patratice folosind acelasi procedeu...
Deoarece la aducerea la forma normala a formelor patratice mai apare si posibilitatea/nevoia rescalarii vectorilor proprii, lumea e deja obligata sa incurce tot.

La noi:
Matricea simetrica cu intrarile [ 1,1; 1,1 ] apare ca matrice a unei forme patratice.
Uitam ce problema avem de rezolvat si o consideram ca aplicatie liniara.
Ea are valorile proprii 0 si 2 (pe care daca-i scadem pe diagonala dam de matrici singulare) cu vectori proprii [1;-1] si [1,1]. Acestia nu formeaza o baza ortonormala, dar ii normam imediat impartind cu radical din 2. Avem din definitia vectorilor proprii:

Am obtinut ceva de forma
AB = BL unde L este o matrice diagonala. (As fi vrut sa scriu Lambda in locul ei). Inmultind la stanga cu inversa lui B obtinem forma normala (Jordan) a lui A. Ei bine, intamplarea face ca sa avem faptul ca B este ortogonala (unitara), deci BB' = B'B = I (am notat transpunerea cu acel prim...) Deci dam de:

B'AB = L

o matrice diagonala. Sper ca este clar cum trebuie luat cel de-al doilea vector, astfel incat sa obtinem un +1 in loc de acel 2...

Cam asa se face afacerea pentru orice matrice simetrica de orice dimensiune. Se iau valorile proprii si un set (intotdeauna suficient) de vectori proprii (ortogonali). Se obtine relatia B'AB = L cu L matrice diagonala. In aceasta unele valori sunt negative si se pot aduce cu o matrice asemenatoare cu B -rescalarea vectorului propriu corespunzator- la valoarea normalizata (standardizata) -1, alte valori diagonale sunt 0 si raman asa, restul sunt pozitive si le rescalam la +1.

Care este deci solutia?