Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia

unde x,y,z sunt diferite de zero si sunt prime intre ele.

In matematica problemele au o origine si un scop. (Scopul nu poate fi cel de a da de lucru la o droaie de oameni, pentru a vedea ca acestia fie n-au de lucru altceva, fie au timp prea mult.)

De asemenea, mai ales in cazul de fata sunt bine de mentionat sursa si motivul pentru care este problema plasata pe aceasta pagina la aceasta sectiune in duminica noastra libera.

In definitiv, si eu ma pot apuca sa postez aici ceva de forma:
Sa se rezolve in numere intregi x,y,z prime intre ele ecuatia

si sa stau la panda...

Mesajul nu este ca problemele ar fi interzise, ci o propozitie introductiva de forma:

Eu am rezolvat... dar nu-mi sunt sigur, iata ce am facut...
sau
Eu nu stiu sa rezolv... si as avea nevoie de acest lucru pentru... de aceea as fi recunoscator pentru o solutie sau indicatie.

In nici un caz nu trebuie sa transpara printr-o serie de propuneri ceva de forma:
Eu nici nu am chef sa ma apuc sa rezolv... dar mi-a mai traznit asa o idee despre ce intrebare incuietoare as mai putea propune si inca nu stiu daca e incuietoare destul. Am mai avut noi inainte pe site o intrebare repetata in diverse forme despre minimul unei expresii cu numere ce satisfaceau o anumita relatie diofantiana, a trebuit sa lamurim intai notiunea de minim pana sa vedem ca autorul cunoaste o familie de solutii la acea relatie, una intre multele posibile si nu stie ce problema sa propuna folosind cunoasterea acestei familii. Intr-adevar, pe vremea lui Fermat se faceau astfel de jocuri pe la curtea regala, pentru ca pozitiile de "calculator la curte" erau numarate si bine platite iar acesta era singurul mod de a face o provocare la concurs. Timpurile s-au dus insa...

Aceasta este in plus o pagina de didactica. Ea se adreseaza in primul rand cunoasterii si sistematizarii cunostintelor matematice. Probleme disparate/disperate pot fi adresate - daca ele intra intr-un cadru normal. Uneori isi dau altii mai bine seama de care e problema reala. Ea nu se adreseaza unui stil babilonic de a aborda numerele ca joc de-a baba oarba.

Prefer sa raspund la sute de intrebari despre ecuatia de gradul I decat sa raspund la ceea ce sta mai sus in modul in care sta (in mod matematic).

In aproximativ 1-2 ani am observat si eu ca TAMREF obisnuieste sa posteze ca "probleme" diverse idei ale lui. In urma cu ceva timp, a avut amabilitatea sa ma intrebe ce si cum trebuie sa posteze pe forum. Am crezut ca l-am lamurit, dar daca nu e asa, trebuia sa ma mai intrebe pe mine sau pe alti utilizatori ai forumului(mai vechi) ce, cum , si unde se posteaza. Oricum, TAMREF are o contributie ce merita laude la acest forum, si chiar daca uneori am cam pierdut timp(incercand sa rezolv probleme neterminate) pentru ca el a postat probleme nedefinitivate , eu sunt pentru lozinca "Tamref, ne bucuram pentru ca esti cu noi".

[Citat] In aproximativ 1-2 ani am observat si eu ca TAMREF obisnuieste sa posteze ca "probleme" diverse idei ale lui. In urma cu ceva timp, a avut amabilitatea sa ma intrebe ce si cum trebuie sa posteze pe forum. Am crezut ca l-am lamurit, dar daca nu e asa, trebuia sa ma mai intrebe pe mine sau pe alti utilizatori ai forumului(mai vechi) ce, cum , si unde se posteaza. Oricum, TAMREF are o contributie ce merita laude la acest forum, si chiar daca uneori am cam pierdut timp(incercand sa rezolv probleme neterminate) pentru ca el a postat probleme nedefinitivate , eu sunt pentru lozinca "Tamref, ne bucuram pentru ca esti cu noi".

Va multumesc mult Domnule Profesor pentru ingaduinta Dvs. si as dori sa-mi dati o indicatie pentru a rezolva aceasta problema.Daca doua ecuatii au aceleasi solutii atunci suma celor doua ecuatii are intotdeauna solutii comune celor doua ecuatii?

Care doua ecuatii au aceleasi solutii?
Si ce are acest lucru de a face cu problema de mai sus?

Si ca raspuns clar:
Da, daca au loc f(x)=0 si g(x)=0, atunci si (f+g)(x)=0,
unde x este un element dintr-o multime X fixata si f,g sunt definite pe X cu valori intr-un grup abelian.

Observatie (1): A rezolva in numere intregi ecuatia xx + yy = zz este la prima vedere o ecuatie diofantiana obisnuita, se pare ca "structura de baza" este inelul ZZ, un inel complicat in care avem o teorie a divizibilitatii complicata.

Nu este chiar asa. Intamplator, aceasta ecuatie este homogena, echivalenta cu a rezolva in QQ ceva ed forma XX + YY = 1. Desi ecuatia este de gradul doi, deci descrie o curba in planul afin din geometria algebrica peste CORPUL QQ, avem de-a face cu o curba rationala si urmatorul truc de rationalizare ne rezolva problema...

- se ia un punct pe curba, de exemplu (1,0).
- se parametrizeaza cumva buchetul de curve (de panta rationala) ce trec prin acest punct. De exemplu se considera un punct (0,t) ce se plimba pe axa ordonatelor si se ia ecuatia dreptei D(t) print (1,0) si (0,t).
- din motive simple (teorema lui Bezout - sau Vieta), rezulta ca a doua intersectie a lui D(t) cu cercul este de asemenea un punct de coordonate rationale.

Tema de casa: care este aceasta a doua intersectie?

Si invers, desigur, daca avem un punct de coordonate rationale (diferit de cel "banal" (1,0) ), dreapta prin (1,0) si acest punct taie axa Oy intr-un punct de coordonate rationale.
Concluzie: Homogenitatea ne permite sa ne legam de o problema de geometrie algebrica peste un corp. Intamplator, pentru ecuatia data dam de o curba scufundata in planul afin, dar care se pune usor (birational) in relatie cu dreapta Afina /A^1 cu punctele { t | t in QQ } .

Mult mai trist stau lucrurile daca avem de rezolvat ceva peste ZZZZZZZZZZZZZ !!!
Pana si o ecuatie de gradul I, diofantica, sa zicem

17 x + 132 y = 15

nu se rezolva "la indemana oricui". In cazul de mai sus (cel mai simplu de ecuatie diofantica veritabila), solutia are ceva de-a face cu reprezentarea in fractie continua a lui 132 / 17 si nu are definitiv ceva de-a face cu "o familie de solutii parametrizate dupa m,n,k..." asa cum o stim in cazul cu xx + yy = zz . Daca din 132 fac un 133 lucrurile se schimba radical, fractia continua de studiat nu are nici o legatura cu cealalta.

Este clar ce este teoria numerelor acum ?
Este clar de ce unii oameni (care inteleg matematica) au respect fata de matematica ?

[Citat] Care doua ecuatii au aceleasi solutii? Si ce are acest lucru de a face cu problema de mai sus? Si ca raspuns clar: Da, daca au loc f(x)=0 si g(x)=0, atunci si (f+g)(x)=0, unde x este un element dintr-o multime X fixata si f,g sunt definite pe X cu valori intr-un grup abelian.

Aveti dreptate daca cele doua ecuatii au aceleasi solutii!Ecuatia din problema expusa de mine are solutii?Eu nu am gasit nici una deocamdata.Puteti sa-mi dati o solutie generala sau macar una particulara,evident in conditiile restrictive ale problemei?Va multumesc!

[Citat] Mult mai trist stau lucrurile daca avem de rezolvat ceva peste ZZZZZZZZZZZZZ !!! Pana si o ecuatie de gradul I, diofantica, sa zicem 17 x + 132 y = 15 nu se rezolva "la indemana oricui". In cazul de mai sus (cel mai simplu de ecuatie diofantica veritabila), solutia are ceva de-a face cu reprezentarea in fractie continua a lui 132 / 17 si nu are definitiv ceva de-a face cu "o familie de solutii parametrizate dupa m,n,k..." asa cum o stim in cazul cu xx + yy = zz . Daca din 132 fac un 133 lucrurile se schimba radical, fractia continua de studiat nu are nici o legatura cu cealalta. Este clar ce este teoria numerelor acum ? Este clar de ce unii oameni (care inteleg matematica) au respect fata de matematica ?

Eu cred ca cei care sunt pasionati de matematica au respect pentru matematica chiar daca nu se pot compara cu profesorii de matematica si gigantii precum Gauss sau Fermat fata de toti si domnii profesori de pe acest forum eu sunt un umil necunoscator dar pasionat de matematica si am avut multe de invatat de la toti si nu as vrea sa va suparati prea tare pe mine cand mai vin si eu cu probleme la care as dori un raspuns.Problema este gandita de mine dar este posibil sa fi fost propusa de altcineva cu mult inaintea mea....Cu deosebita stima pentru completarile Dvs. care imi imbogatesc cunostintele si ma ajuta sa inteleg mai bine ceea eu caut.

Ecuatia data se rescrie:

Deoarece arata mai simplu, o sa ma apuc de aceasta ecuatie in forma ei ceva mai generala

(uitand sau nu ca X,Y,Z sunt numere impare). Da, avem de-a face in mod definitiv cu o problema de teoria numerelor. (Si nu cu una de geometrie algebrica peste Q). Acel 1 ma termina.

Ecuatia de mai sus se rescrie sub forma urmatoare:

Nota: Am incercat sa o iau si pe partia cealalta, rescriind XX-1 = ZZ-YY, deci (X+1)(X-1) = (Z-Y)(Z+Y) si plasand solutia la nivel de liceu, deoarece foloseste teoria divizibilitatii peste ZZ. In principiu, aceasta abordare conduce destul de repede la solutii. De exemplu:

X = 11.
Calculam (X+1)(X-1) = 12.10.
Redistribuim numerele impare ce intervin in descompunerea celor doi factori in mod arbitrar. (Si eventual si puterile lui doi, dar trebuie sa fim atenti ca unul din factori sa fie congruent cu 2 modulo 4, pentru a da de solutii impare la sfarsit. Lucrul acesta se realizeaza redistribuind insa numerele prime impare din descompuneri...) Obtinem:
(Z-Y).(Z+Y) este "asa cum scriem separat de . ca semn de inmultire"
in multimea cu elementele:

Rezolvand sistemele corespunzatoare, de exemplu ( Z-Y = 6 si Z+Y = 20 ) dam de ( Z=13 si Y=7) sau ( Z-Y = 30 si Z+Y = 4 ) dand de (Z=17 si Y=-13). Dar partea cu descompunerea in factori este "imprevizibila". Partea cu ghinionul/norocul de a da de solutii impare se poate rezolva analizand ce tipuri de factoriavem de acceptat luandu-i modulo 4. Deja lucurile devin foarte neclare. Am dat de o solutie X,Y,Z. Acum trebuie sa trecem de la (11, -13, 17) la (x,y,z)=(5,-7,8). Si conditia care sta in drum, acea de a da de trei numere prime intre ele, este intamplator satisfacuta. Nota: daca in ecuatia Fermat conditia era impusa pentru a simplifica lucrurile, deci pentru a nu cara de prea multe ori aceeasi esenta de solutie tot inmultind-o cu divizori arbitrari, aici conditia de primalitate relativa sta rau in drum. Dupa parerea mea, problema nu este bine pusa. Ar trebui pusa in doua faza, prima fara aceasta conditie de primalitate, iar daca avem o solutie cat de cat pentru ea, atunci mai putem vorbi de faza a doua. O solutie particulara este deci data de:

Dar aceasta solutie este putin insotita de neprevazut. In momentul in care am ales X=11 este putin greu de vizionat cum se va descompune (X+1)(X-1)...



Revin la drumul prin ZZ[ i ], deoarece alegerea este cu un grad de libertate mai mic. (Dar structura mai complicata.)

Iata care este teoria divizibilitatii si modul cum se ramifica numerele prime in extinderea de corpuri de numere

cu inele de intregi algebrici subiacenti

Z[ i ] este un inel (factorial) cu descompunere unica in factori primi, deoarece avem un fel de algoritm al lui Euclid...
Unii il numesc inelul lui C.F. Gauss.

Numerele prime (ce nu au nimic de-a face cu 2) din acest inel sunt fie de forma p, p numar din Z congruent cu 3 modulo 4, de exemplu 19 sau 23, fie de forma (a+ib), a,b in ZZ, unde aa + bb este un numar *prim congruent cu 1 modulo 4. De exemplu 2+i este un numar prim. (El nu se mai poate sparge mai departe in ceva ce contine mai mult de doi factori neunitati.) Avem de exemplu (2+i)(2-i) = 5 si oamenii fac propozitii de forma: Numarul prim 5 din Z se descompune la trecerea la extinderea ZZ[ i ] in produs de doua numere prime conjugate, anume (2+i) si (2-i). Se stie ca 19 nu poate fi descompus prin trecere de la ZZ la ZZ[ i ], de aceea oamenii il numesc inert. Vom nota numerele prime "inerte" din ZZ[ i ] cu litere obisnuite (p,q,...) iar pe cele neobisnuite cu pi, kappa, ...

Numarul 2, numar prim in ZZ, este putin special, pentru ca divide discriminantul polinomului ce defineste extinderea, anume polinomul XX + 1 cu radacinile plus si minus i, (acest X este altul decat cel din ecuatia diofantiana de mai sus) calculat drept bb - 4ac = 0.0 - 4.1.1 = -4 . El se descompune "evident" ca (1+i)(1-i), dar cei doi factori sunt asociati (unul se obtine din celalalt inmultind cu "unitatea" i) si scriem mai bine

Aici i este unitate (cu inversul -i din ZZ[ i ] de asemenea) iar (1-i) este un numar prim veritabil din ZZ[ i ] . Oamenii spun ca 2 se ramifica la extinderea de la ZZ la ZZ[ i ].

Inarmati cu aceste cunostinte rezulta ca putem descompune unic:

unde p-urile si q-urile sunt inerte iar celelalte pi-uri si kappa-uri apar prin fixarea cate unei parti de numar prim din ZZ de forma 4K+1.
Epsilon si delta sunt unitati din ZZ[ i ]. Ele au modul 1. (Ele sunt 1,i,-1,-i.)
Aplicand morfismul (Galois) de conjugare complexa obtinem paralel:

Morfismul Galois este cel ce ne ajuta sa scapam de un grad de libertate al neprevazutului, anume generand din descompunerea in factori primi a lui X+iY pe cea a lui X-iY.
Din pacate, mai raman grade de libertate.

Trecand la "Norma" N (a lui ZZ[ i ] peste ZZ) - adica luand modulul la patrat, ce mai, in primul set de relatii - sau multiplicand corespunzator ecuatiile din cele doua seturi - obtinem descompuneri in factori primi veritabile peste ZZ:

Deoarece am plecat cu ecuatia XX + YY = ZZ + 1 si deoarece vedem doua descompuneri in factori primi peste ZZ, ce mai, acasa la noi, rezulta ca acestea coincid, daca mai permutam din notatii... Deci r=s, u=v, a=b si p-urile sunt (o permutare pentru) q-uri si pi-urile pentru kappa-uri.

Intamplator, conditia de primalitate relativa pentru x,y,z NU NE AJUTA DELOC in a stabili o primalitate relativ pentru X,Y,Z, principalul lucru pentru care mi-am pierdut in repetate ori nervii si asa bine erodati la serviciu.

Problema are acum urmatoarea "rezolvare":

Se considera toate numerele de forma ZZ+1, cu Z intreg impar.

Se descompun acestea peste inelul intregilor si se grupeaza puterea lui 2 (care e desigur 2 la puterea 1, deoarece Z este impar), numerele prime la puteri diferite de asemenea grupate dupa cum sunt de forma 4K+1 sau de forma 4K+3.

Exemplul I: Z = 2011, ZZ+1 = 2 . 193 . 10477
Exemplul II: Z = 2013, ZZ+1 = 2 . 5 . 29 . 89 . 157

Se descompune mai departe peste ZZ[ i ]

Se alege acum din fiecare pereche ce trebuie... Nu doresc sa intru in detalii.
Se calculeaza rezultatul pentru alegere. De exemplu:

? (1+I) * (12+7*I) * (99-26*I)
%12 = 989 + 1751*I

Ei bine, oare ce putem sa luam pe post de X,Y (intamplator sunt doua numere impare pe acolo). Si deoarece intamplarea ne-a ajutat asa de departe, oare chiar dam din X,Y,Z de trei numere x,y,z prime intre ele?! Rezolva acici numai faza I...

Tema de casa:
Apar si termeni de forma 4K+3 si ce facem cu ei?

In general, o pagina de pe net profita mult daca are un "colorit felurit". Am invatzat si eu multe din prezenta coliziune, la serviciu, de exemplu, cand m-a pus cineva sa mai schimb culorile in acel Excel nu m-am mai luat la bataie cu omul ci cu Excel-ul. Bataia a luat un caracter civilizat.



In orice caz, cam asa arata teoria numerelor.


P.S. In momentul in care se gaseste o solutie sau o abordare sistematica, problema este demna de publicare intr-o revista de specialitate "de mana a doua"... Este un lucru care nu trebuie subestimat.

[Citat] Ecuatia data se rescrie: Deoarece arata mai simplu, o sa ma apuc de aceasta ecuatie in forma ei ceva mai generala (uitand sau nu ca X,Y,Z sunt numere impare). Da, avem de-a face in mod definitiv cu o problema de teoria numerelor. (Si nu cu una de geometrie algebrica peste Q). Acel 1 ma termina. Ecuatia de mai sus se rescrie sub forma urmatoare: Ei bine, oare ce putem sa luam pe post de X,Y (intamplator sunt doua numere impare pe acolo). Si deoarece intamplarea ne-a ajutat asa de departe, oare chiar dam din X,Y,Z de trei numere x,y,z prime intre ele?! Rezolva acici numai faza I... Tema de casa: Apar si termeni de forma 4K+3 si ce facem cu ei? In orice caz, cam asa arata teoria numerelor. P.S. In momentul in care se gaseste o solutie sau o abordare sistematica, problema este demna de publicare intr-o revista de specialitate "de mana a doua"... Este un lucru care nu trebuie subestimat.

Extrem de interesant modul Dvs. de rezolvare a problemei.Am sa incerc sa merg pe calea propusa de Dvs. cu speranta ca voi gasi toate solutiile in functie de niste parametri.Eu am incercat sa rezolv problema in alt mod si anume prin utilizarea unor parametri dar din pacate modul de scriere in "Latex" nu-l stapanesc prea bine si timpul imi este limitat.Modul in care am incercat sa rezolv problema a fost sa consider ecuatia initiala ca pe o ecuatie de gradul doi in z si de aici ar rezulta ca discriminantul sa fie un patrat perfect....etc....Ce intelegeti Dvs. prin revista de specialitate "de mana a doua" si care sunt revistele de specialitate "de mana intaia"?Va multumesc mult pentru ajutorul Dvs. pentru a intelege mai bine anumite probleme.Cu stima!

[Citat] Pana si o ecuatie de gradul I, diofantica, sa zicem 17 x + 132 y = 15 nu se rezolva "la indemana oricui".

Solutiile acestei ecuatii sunt:

si respectiv

unde t este un parametru intreg.