1.Exista o demonstratie simpla a faptului ca un triunghi echilateral reprezentat intr-un sistem cartezian xoy nu poate avea coordonatele virfurilor numere rationale?
2. La o olimpiada (am uitat unde am gasit subiectele) era o problema in care se cerea sa se demonstreze ca un poligon convex cu n laturi se poate descompune in n triunghiuri dreptunghice disjuncte. Eu n-am reusit nici cu un pentagon. As dori o figura la pentagonul regulat de exemplu.

(1) Sa zicem c-ar exista un triunghi echilateral cu varfurile de coordonate rationale in planul complex. Prin translatie putem presupune ca unul dintre varfuri este (0,0), complex 0=zero.
Fie (p,q), complex p+qi, un alt varf. Cel de-al treilea este

care nu are dfinitiv coordonate (i.e. parte reala si imaginara) rationale.

Sa zicem c-ar exista o constelatie de spargere a unui pentagon (convex) in 5 triunghiuri dreptunghice. Suma unghiurilor in pentagon este 5 pi - 2 pi. Suma unghiurilor in cele cinci triunghiuri (dreptunghice) involvate in spargere este 5 pi. Deci cele 5 triunghiuri ``pierd 2 pi pe drum'',

adica exista exact UN alt punct care este varf al (unuia sau) mai multor triunghiuri dintre cele cinci de spargere, deci al tuturor 5,

sau exista exact DOUA puncte care sunt varfuri al mai multor triunghiuri, iar prin fiecare din ele trece o latura a unui triunghi din cele 5.

Deoarece nu exista doua laturi ale pentagonului regulat, care formeaza un triunghi dreptunghic, fiecare latura se afla in alt triunghi dreptunghic din spargere.

Analizand cele doua cazuri mai indeaproape am ajuns la concluzia ca pentru un pentagon convex general nu exista o astfel de spargere... In ambele cazuri este mai greu sa ``ascundem'' in figura unghiuride de 90 de grade.