Buna ziua!

Am o fixatie de cand am auzit prima oara de la d. Enescu de teoremele de incompletitudine ale lui Kurt Godel. Am mai citit cate ceva pe aceasta tema, dar mai mult de popularizare sau filosofie. Insa sunt tentat sa abordez problema serios, asa ca vreau sa va cer ajutorul in sugestia de carti, materiale de studiu individual pe tema logicii matematice, cu "tinta" teoremele lui Godel.

Am facut rost de cateva carti si am citit si pe Wikipedia cam ce ar fi de cautat, insa nu am gasit nimic foarte ajutator. Am inclusiv demonstratiile teoremelor lui Godel, insa nu am niciun trecut in acest domeniu, cu exceptia legilor de Morgan si elemente FOARTE de baza. Am si Principia Mathematica, insa nu stiu daca e tocmai cel mai recomandat text.

Am citit pe Wikipedia ca ar fi de urmarit, ca si ramuri: Teoria multimilor, Algebra universala, Teoria modelelor, Teoria demonstratiilor si Calculabilitate (computabilitate?) si complexitate.

Asadar, punctual, va rog:

- Sa imi recomandati carti de logica matematica pentru studiu individual, insa incepand de foarte jos, dar, pe cat posibil, si cu "bataie lunga", ceva materiale enciclopedice, daca se poate
- Sa imi sugerati un "plan de atac", continand titluri de capitole, ordonate crescator dupa dificultate, pe care ar trebui sa il urmez
- Sa imi numiti persoane din Facultatea de Matematica a Universitatii Bucuresti la care as putea apela (persoane care au cunostinte in acest domeniu), pentru ca uitandu-ma scurt pe CV-urile disponibile pe pagina facultatii, nu gasesc domenii conexe.

Multumesc.

Nu raspund la intrebare, dar mentionez ce trebuie stiut inainte de toate:

Sa luam matematica de liceu ca un punct de referintza in "common sense".
Atunci putem in matematica sa "mergem inainte",
de exemplu sa luam o curba eliptica peste un corp finit si sa facem teoria codurilor in ea,
sau sa intram in geometrie diferentiala in spetza varietatilor de dimensiune trei si sa vedem cum putem scufunda un cerc topologic in ele, etc
sau sa "mergem inapoi", astia din Germania spun unerori "sa ne apropiem de bunul Dumnezeu", anume sa foram fundatiile, buna definire a definitilor, daca o multime e multime, daca descrierea proprietatilor este bine pusa, etc. Eu intotdeauna m-am detasat de acest lucru, singura apropiere pe care a trebuit sa o faca a fost cu <fie C o categorie mica>...

In ultima vreme, au mai aparut probleme de decidabilitate in teoria numerelor care cumva se adapa din ambele parti, dar si aici tehnicitatea este mai mare decat inteligentza (dupa parerea mea neinitiata).

Cine doreste sa inteleaga logica matematica (din punct de vedere matematic, nu prin defrisare informatica la unele facultati de aiurea din lume), trebuie sa stie ca asa stau lucrurile (si ca are bune sanse de a deveni somer - dar pentru asta se pot da multe domenii in matematica).

La intrebare mai aproape:
In Germania a aparut o carte de initiere,
Hofstadter,
G"odel, Escher, Bach
care macar transmite sentimentul despre cum stau lucurile.

In Romania, nu stiu ce specialisti (mai) sunt in logica acum, ma tare tem ca nici unul, dar un domeniu apropiat (la gust) ar fi teoria toposurilor - un lucru care ajuta pe durata. Teoria modelelor ar fi de asemenea prin zona, dar deja vorbesc din basme. Eu as intra in facultate si as intreba de cine stie asa ceva...

Da, am cartea aceea, GEB si de asemenea, mai am (valoroasa, zic eu) Hao Wang - A Logical Journey. Am citit ca autorul a corespondat cu Godel destul de mult, atat pe filosofie, cat si pe matematica. Cartea arata interesant, cu destule interludii matematice ne-"pocite", ca sa serveasca filosofiei.

Dar, tot la subiectul initial, ar fi teoria multimilor un punct de plecare bun? Ma gandesc si in sensul raspandirii, adica poate sunt ceva oameni la noi care se ocupa de asa ceva si chiar in sensul accesibilitatii, cel putin la inceput. Am cateva carti bune, de la Cambridge, Oxford care incep de jos. Si cum eu studiez algebra pentru admitere la masterat, ma gandesc ca ar fi si teoria categoriilor un punct bun de plecare.

Mentionez ca nu vorbesc din mai multa experienta decat ofera Wikipedia si primele 1-2 capitole din unele carti. Asa ca aparentele domeniilor pe care le-am adus in discutie ma pot insela. Doar la algebra pot sa spun ca am ajuns pana la extensii de corpuri, inceput de teorie Galois, module libere.

Multumesc.

Teoria multimilor tine de fundamente. Problemele (fara probleme) sunt de a separa o "clasa" de o multime prin axiome "nu tocmai umane", de a demonstra diferite formulari echivalente ale axiomei alegerii, etc. Candva eu am decis pentru mine ca am de-a face cu (sub)multimi ale lui |R (sau unele pe care le obtinem prin constructii normale -ca produsul cartezian) si care nu ma scot din peisaj.

Teoria categoriilor este un lucru important de structurare in matematica din ultimii 60 de ani. Insa nu ca scop in sine. Teoria toposurilor este o parte inca relativ generala, dar foarte speciala din interiorul ei, are de a face cu definitia in "categorii generale" (mici) a unor structuri de "siruri exacte", asta daca nu vrem direct sa trecem la categorii abeliene. Odata invatand acest aparat (care pleaca de la Grothendieck in cea mai mare parte) omul are sanse mari sa inteleaga unitar anumite teorii (co)homologice care se pot adresa spatiilor topologice sau geometriei algebrice sau teoriei numerelor (de exemplu clase de echivalentza de forme patratice).

Teoria Galois "este" de exemplu (legata de) un functor de la categoria corpurilor dintre doua corpuri fixate K < L intr-o extensie "buna" (ca obiecte, cu incluziunile ca morfisme) cu valori in categoria grupurilor plasate intre Gal(L:K) si 1=Gal(L:L). Faptul ca vedem "categorii" nu ne ajuta foarte mult in intelegerea efectiva a esentei matematice, dar ajuta comunicarea intre matematicieni (propozitii mai scurte) si "invatarea" structurilor.

Teoria categoriilor in sine nu aduce prea mult, dar cel ce a inteles-o si a vazut de exemplu cadrul (co)(h)omologic de constructie a invariantilor din topologie va intelege imediat cum este cam acelasi lucru in geometria algebrica...

Dupa gustul meu: Algebra (si in special teoria corpurilor din ea) conduce pe drumuri bune (pentru estetica si importanta lor din zilele noastre), teoria multimilor ne intoarce cam in anii 1920...

Interesanta ultima remarca.

Oricum, eu ma indrept catre un masterat in algebra si cu asta vreau sa imi implinesc visul de a intelege Marea Teorema a lui Fermat.

Logica si teoremele lui Godel le-am privit ca pe o "divagatie", insa e cazul sa o inabus acum, pentru ca sunt convins ca am suficient de studiu in directia algebra (fie ea comutativa sau nu). Directie care oricum o privesc prioritara.

Multumesc foarte mult pentru timpul acordat si cred ca este cazul sa incheiem aici acest subiect, cu acordul dumneavoastra.

O duminica frumoasa!
Adi