Postez sub acest titlu câteva dintre problemele cele mai dificile care au fost propuse la examenele de admitere.

S? se rezolve ecua?ia

ASE, 2002 (enun? adaptat-cel original era tip gril?)

Notam/substituim cu A numarul (2x-1)/3 = (4x-2)/6, pentru ca in partea stanga a ecuatiei prea multe expresii sunt ceva mai apropiate de acest A.
Rezulta x = (3A+1)/2. Ecuatia data se reformuleaza atunci echivalent:

Ne legam de ecuatia in A de mai sus.
Deoarece partea stanga este un numar intreg, rezulta ca si partea dreapta este un numar intreg, deci ca 5A-1 este numar intreg par, deci A este o fractie de forma m/5, unde m este un numar intreg impar. (Deci A se plimba intr-o multime discreta, o droaie de puncte izolate. Incercam sa facem rost de minirari/majorari pentru A...)

Pentru a reduce ecuatia la ceva mai simplu fara multa bataie de cap, folosim inegalitatea [y] <= y < [y]+1 pentru a obtine ca implicatie intr-o singura directie (si la sfarsit nevoia de verificare):

(Inegalitatea pe partea cu < a fost poate putin generoasa... Ne asteptam ca la verificari sa nu avem parte de solutii pe aceasta parte...)

Valorile posibile ale lui A sunt atunci in intervalul (-2,2] numere rationale cu numitorul 5 si numarator impar, deci in multimea:

-9/5, -7/5, -5/5, -3/5, -1/5, 1/5, 3/5, 5/5, 7/5, 9/5 .

Verificarea o fac desigur cu calculatorul (Pari/GP), astfel incat si tabelul ce trebuie inserat pentru discutia de fata sa fie "deja tiparit".

Cu ceva lucru manual obtinem:

Solutiile sunt deci:
Pentru A: -3/5, -1/5, 1/5, 3/5, 1.
Pentru x: -2/5, 1/5, 4/5, 7/5, 2.

Trebuie sa trimit mesajul ca sa vad daca nu am gresit pe undeva... (Sper ca nu trebuie sa mai tot modific inainte si inapoi.)

Cred c? în mintea propun?torilor a fost folosirea identit??ii lui Hermite

ce-i drept, prezent? în toate manualele, dar...