Postez sub acest titlu câteva dintre problemele cele mai dificile care au fost propuse la examenele de admitere.

Fie

S? se calculeze

.
Politehnica Bucure?ti, 1993

Indicatie 1:
La nivel de facultate (abia, din pacate,) se demonstreaza pentru functia exponentiala urmatoarea reprezentare:

care are sens chiar pentru orice numar complex (nu numai real) x, si care poate fi astfel in liceu folosita pentru ca o data pentru totdeauna sa defineasca riguros (numarul pi si) functiile sinus si cosinus (si acelea care provin din ele). (Numarul pi nu este definit la nivel de liceu, ce este de fapt "lungimea cercului" sau "lungimea graficului functiei f definita si continua pe [a,b], si derivabila pe (a,b)? Iar pentru a folosi cateta si ipotenuza pentru sinus este o afacere frumoasa cat timp masuram unghiurile in grade si nu in pi-uri, dar atunci este o scarpinare de cap pentru a folosi formulele/dogmele tabelare de derivare din clasa a IX-a. Acesta este si motivul pentru care oamenii nu pot sa retina din formule prea mult...)

Atunci functia de mai sus, definita pe [0,infinit) are formula (alter)nativa:

(Unii numesc aceasta reprezentare dezvoltare in serie de puteri (ale lui x), iar o functie este numita/definita in caz de existenta a unei astfel de dezvoltari drept functie analitica.)

Se poate demonstra ca derivarea dupa x se poate face "formal" (fara a tine cont de acele puncte-puncte din coada reprezentarii).
Derivand de n ori obtinem formal reprezentarea:

Aceasta solutie este doar posibila cu cunostinte de facultate, rezultatul arata insa cat de mare este complexitatea problemei.

Nu e nevoie sa mai derivam formal de n ori.

este chiar dezvoltarea Taylor pentru f, deci putem identifica

de unde concluzia.

In plus, in anul cand a fost propusa problema (intr-un test grila, deci...era posibila si o alta abordare ) formula lui Taylor era in programa scolara.