Am nevoie de ajutor si la urm pb:

1. Sa se afle primele 145 zecimale ale nr ((radical din 65)- 8)^23

2. se da f:N->Z, f(x)=ax+b , a,b nr intregi nenule
m<>n, m,n sunt nr naturale a.i. f(1)+f(2)+...+f(m)=-n si f(1)+f(2)+...+f(n)=-m.
Sa se calculeze raportul (f(1)+f(2)+...+f(m+n))/(m+n)

(1) Din pacate trucul ce vine prima oara pe limba pentru numarul a definit a fi

nu spune prea mult decat despre primele 22 sau 23 de zecimale ale lui a^23.
Chiar si considerand logaritmi, ca sa vedem cat de multe din primele zecimale sunt nule, nu trecem de treizeci de zecimale "evidente". Asa ca se ia masina de socotit si se socoteste:

(Cod pari/gp. A trebuit sa rup manual rezultatele.)
Deoarece numarul dat nu este rational, nu ma astept la nici o periodicitate. Acel E-28 din coada inseamna ca il inmultim pe 1.84... cu zece la puterea (minus 28). Ce vrea problema aceasta de la om si de ce?

Pun pariu cu mine ca problema vroia de fapt a^123 si putin ajutor din partea unei tabele de logaritmi (sau aproximari chinute pentru ceva ce se afla in tabela). Sau poate ca cerea primele cateva zecimale in baza doi ale lui a^23...

De unde provine?

(2) Acest punct nu are nimic de-a face cu primul...

Din cele date si valorile cunoscute (de Gauss in clasa I-a) pentru
1+2+...+m si
1+2+...+n
rezulta ca avem date relatiile:

Considerand relatiile date ca un sistem in necunoscutele a si b (cu parametrii m si n), care este solutia explicita a acestui sistem?

In ce caz(uri) aceste solutii sunt numere intregi?

la exc 2. am obtinut a=2(n+m)/nm si b=- [n^2+(n+m)(m+1)]/nm
pentru ca a si b sunt intregi ar rezulta ca numaratorul se imparte exact la numitor, dar mai departe nu prea situ ce sa fac.

la exc 1. era intr-adevar a^123 (1 era prea aproape de paranteza si nu l-am vazut)
cum ati dedus ca de fapt trebuia sa fie 123? si in cazul asta cum se rezolva? (daca se poate fara logaritmi)

(1) Cu computerul am calculat ordinul de marime al lui <a> (de mai sus) la cateva puteri mai mari, ca sa vad de unde incolo primele zecimale se anuleaza. Intuitiv, se vede ca <a> este "cam" 1/(8+8), deci (din punctul de vedere al fizicianului generos) "cam" 1/10, iar ridicand la 123 sunt suficient de multe zerouri dupa virgula. daca ridicam numai la puterea 23, desigur sunt cam putine. (Cu calculatorul am vazut exact de la ce ordin n numarul a^n intra sub acel ominos 1.E-146)

Atunci, ceea ce vrea problema poate, este de a acomoda pe cel ce rezolva cu "minorari/majorari" sensibile. Mai departe nu folosesc nimic deosebit, poate singurul truc este de a aproxima sensibil puteri ale lui doi cu puteri ale lui zece...

Care sunt primele cateva zecimale dupa virgula ale acestui numar "foarte mic" trebuie sa fie clar.

In aceasta problema, "intamplarea" face doar sa putem sa ne aranjam pe langa o putere a lui zece. Daca vrem sa facem acelasi lucru cu un alt numar a pe langa 1/23 si nu stim de logaritmi, lucrurile stau mai greu. Didactic este important de vazut ca problema se rezolva fara logaritmi doar "usor artificial" si ca o inegalitate de cam acelasi fel, suficient de stransa, se face cel mai usor (fara "inventivitate nenecesara") citind ce sunt logaritmii, logaritmand si transformand ridicarea la putere in multiplicare.

(2) Excelenta observatia. Eu am ("rezolvat" si) verificat solutia folosind calculatorul:

Acum, numerele m,n sunt in domeniul de definitie al functiei date, care ar trebui sa fie multimea numerelor naturale fara elementul zero. Deci m,n sunt mai mari sau egale cu unu. Rezulta

Pentru 1/m+1/n nu avem deci decat posibilitatile de a obtine 1/2, 2/2, 3/2, 4/2.

Din cele de mai sus e clar ca 4/2 apare doar in cazul m=n=1.

Daca nu, fie m, fie n este mai mare sau egal cu 2. Rezulta usor ca 3/2 se obtine doar in cazurile in care dubletul (m,n) este (1,2) sau (2,1).

Pentru a fi mai indemanatici rezolvam 2(m+n)/(mn) = 1 in modul urmator: Rescriem ca mn-2(m+n)+4=4, deci (m-2)(n-2)=4 si 4 nu are prea multi divizori.

Si cazul ramas se face asemanator. (Si primele doua, daca insistam...)

Pana acum am avut grija doar de a.
Daca ne ocupam si de b putem spera ca mai scapam de cateva cazuri (iesind din peisajul lui ZZ).
Din "multele" posibilitati obtinute, facem cel mai bine un tabel cu ce valori iau a,b,m,n si expresia cautata...

Care este deci solutia?