Postez sub acest titlu câteva dintre problemele cele mai dificile care au fost propuse la examenele de admitere.

Fie

o func?ie integrabil?.
a) S? se arate c? dac?

atunci

b) Dac?, în plus,

e continu? în 1, s? se arate c?

Facultatea de Matematic?, 1989.

(a) Fie f integrabila pe [0,1] cu valori reale ca in enunt.
Atunci si functia (compusa cu functia) modul, |f| : [0,1] -> IR este integrabila.
Fie a in (0,1) si n numar natural mai mare ca unu fixati. Atunci putem majora:

Deoarece sirul (na^n) converge la zero pentru n care tinde la infinit
(l'Hospital pentru fractia y/(1/a)^y, vazuta ca functie de y>0 - de exemplu)
rezulta din criteriul clestelui cele cerute.

N.B. Este de datoria rezolvitorului in parte sa mentioneze macar ca (daca nu si de ce) functia x -> x^n f(x) este integrabila pe [0,1] - anume ca produs de o functie continua marginita ([0,1]->[0,1] , x -> x^n) si functia integrabila f.

Acum, cu scuzele de rigoare, cred c? ar fi bine s? l?s?m celor care acum se preg?tesc pentru admitere un anumit interval de timp s? se gândeasc?...

Nu e un concurs, ci, mai degrab?, un demers didactic

A se citi doar dupa incercari proprii repetate, anume doar pe fragmente!

(b) (Relatia data este liniara in f...)
Inlocuind f prin f-f(1) si tinand cont de relatia evidenta

rezulta ca ajunge sa demonstram cele cerute pentru functii integrabile f ca in enunt, care sunt continue in 1 cu proprietatea f(1)=0 .

Notam cu I(|f|) integrala pe [0,1] a functiei integrabile |f|.
(Doar pentru a avea ceva mai multa compacitate la umplerea hartiei...)

Fie (epsilon) > 0 fixat.
Atunci, din continuitatea lui f in 1 si din f(1)=0, rezulta ca exista un a=a(epsilon) cu proprietatea ca

Din

si folosind (a)
rezulta ca exista un N(epsilon) astfel ca pentru n mai mare sau egal cu acest N(epsilon) primul termen sa intre sub epsilon jumate, deci ca toata expresia sa intre sub epsilon.

Am demonstrat cu definitia ca expresia de sub modul converge la zero pentru n care tinde la infinit.

N.B. Uneori se primesc puncte nesperat de multe pentru observatia "banala" ca relatia data (este liniara in f si) este satisfacuta pentru functii constante... (Olimpiade, bac, examene de analiza din facultate...)

N.B. Cer scuze pentru graba, am postat si apoi m-am gandit si eu ca oamenii poate vor si ei sa rezolve pe barbia proprie.