Sa se determine a E Z3 pentru care polinomul f E Z3[x],f=xla3+axla2+(a+2clasa)x+a are 3 radacini in Z3

[Citat] Sa se determine a E Z3 pentru care polinomul f E Z3[x],f=xla3+axla2+(a+2clasa)x+a are 3 radacini in Z3

Rescriere a cerintei:

Sa se determine

pentru care polinomul

are trei radacini in

.

Indicatii:
- Daca radacinile sunt distincte, (adica f(x)=0, dar f'(x) nu e 0, pentru acea radacina), atunci, bineinteles, ca radacinile vor fi

. Inlocuind, avem 3 conditii (ecuatii) pentru a.

Daca sistemul nu este compatibil, atunci avem de-a face cu radacini multiple si avem si f(x)=0 si f'(x)=0 (si eventual f''(x)=0).

Dar avantajul cel mai mare este ca x nu poate lua decat 3 valori...

Exista doar trei valori in inelul

,
de fapt corp"ul" cu trei elemente (general field with 3 elements, GF(3)),
deci avem de facut de trei ori schema lui Horner peste acest inel/corp
anume pentru trei polinoame,

Aici voi lua computerul, ca sa tiparesc mai repede:

Solutia scurta
"vede acum" ca intotdeauna (1 modulo trei) este radacina,
savarseste impartirea la (x+2) = (x-1)
si se uita cand mai are catul o radacina in corpul/inelul Z3.

Calculam catul:

Catul sta mai sus.
Daca x=0 (modulo 3) este radacina, rezulta a=0.
Daca x=1 (modulo 3) este radacina, rezulta 2=0, mai greu.
Daca x=-1 (modulo 3) este radacina, rezulta (-2)a=0, deci a=0.

Reciproc, pentru a=0 avem descompunerea in trei factori liniari imediata a lui x^3-x.