fie f=x la a 3 +bx patrat +cx+a apartine lui Q[X] a.i a,b,c apartine lui Z si ab+ac este nr impar.Sa se arate ca f este ireductibil peste Z

Daca f e reductibil, atunci se scrie ca x la patrat plus m ori x plus n totul ori x plus p pentru anumite numere intregi m,n,p. Facand inmultirea si identificand coeficientii, obtinem ca p plus m egal b, n plus p ori m egal c si n ori p egal a. Din conditia a ori b plus a ori c impar deducem ca a e impar si b plus c e tot impar. De aici rezulta ca n si p sunt impare si asta contrazice faptul ca b plus c care e egal cu p plus m plus n plus p ori m este tot impar. Sper ca e clar...

O solutie alternativa care reflecta mai mult cele ce (nu) sunt spuse in solutia de mai sus este urmatoarea:

Notam cu R barat inelul de polinoame peste Z indice doi la dreapta jos.
Notam cu zero barat si unu barat cele doua elemente din Z indice doi dreapta jos.
(Deoarece zero caciula si unu caciula au nevoie de utf8, de exemplu.)
Fie f barat polinomul din R barat obtinut luand coeficientii lui f modulo doi. Presupunem ca f este decompozabil peste Z.
Atunci f barat este decompozabil peste R barat,
deci are fie radacina zero barat, fie radacina unu barat.
Din enunt se stie ca (ab+ac) totul barat egal cu (a barat) inmultit cu ( b barat plus c barat) este nenul, deci este unu barat, deci a barat este unu barat si (b barat plus c barat ) este unu barat.
Zero barat se exclude ca radacina a lui f barat, deoarece f barat de zero barat este a barat, deci unu barat.
Unu barat se exclude ca radacina a lui f barat, deoarece f barat de unu barat este unu barat plus b barat plus c barat plus a barat, deci unu barat.
Presupunerea facuta da numai de contradictii, deci e falsa. Rezulta cele cerute.