Am gasit intr-o carte ca "multimile factor" (cosets, parca asa se traduce) ale lui

sunt o infinitate, "identificandu-se" cu elementele intervalului [0,1). O demonstratie la care m-am gandit e asa: R/Z={x+Z | x in [0,1)}. Atunci f:R/Z->[0,1), f(x+Z)=x este bijectie.

Intrebare: se poate gasi si un izomorfism intre (R/Z,+) si ([0,1),*) ? Eu as zice ca nu, deoarece "candidatul cel mai serios", f-ul de sus, nu e morfism.

[Citat] Am gasit intr-o carte ca "multimile factor" (cosets, parca asa se traduce) ale lui sunt o infinitate, "identificandu-se" cu elementele intervalului [0,1). O demonstratie la care m-am gandit e asa: R/Z={x+Z | x in [0,1)}. Atunci f:R/Z->[0,1), f(x+Z)=x este bijectie. Intrebare: se poate gasi si un izomorfism intre (R/Z,+) si ([0,1),*) ? Eu as zice ca nu, deoarece "candidatul cel mai serios", f-ul de sus, nu e morfism.

([0,1),*) nu e grup...

Da, intr-adevar... [0,1],* si atunci nu gasesc izomorfism, ca 1+Z nu e in R/Z

[Citat] Da, intr-adevar... [0,1],* si atunci nu gasesc izomorfism, ca 1+Z nu e in R/Z

Trebuie s?-?i revizuie?ti argumentul. Nici ([0,1],*) nu e grup. Problema trebuie bine formulat?.

[Citat] Trebuie s?-?i revizuie?ti argumentul. Nici ([0,1],*) nu e grup. Problema trebuie bine formulat?.

De acord, m-am cam grabit cand am raspuns.

Atunci reformulez:

Se poate gasi o bijectie intre [0,1) si R/Z? Eu spun ca da, si anume cea pe care am mentionat-o in primul mesaj.

Renunt la a mai cauta grupuri izomorfe cu R/Z.

[Citat] [Citat] Trebuie s?-?i revizuie?ti argumentul. Nici ([0,1],*) nu e grup. Problema trebuie bine formulat?. De acord, m-am cam grabit cand am raspuns. Atunci reformulez: Se poate gasi o bijectie intre [0,1) si R/Z? Eu spun ca da, si anume cea pe care am mentionat-o in primul mesaj. Renunt la a mai cauta grupuri izomorfe cu R/Z.

P?i tocmai aceasta este ideea în orice categorie: obiectele izomorfe sunt "la fel". Practic, depinzând de punctul de vedere matematic, grupul la care te referi mai are ?i alte prezent?ri: se noteaz? cu

sau

(cercul unitate al numerelor complexe de modul unu) sau

(matricele ortogonale -- sau unitare -- de ordinul doi cu elemente reale).

Daca dorim sa avem un izomorfism de grupuri (topologice) neaparat intre

si un grup "cunoscut" ( G , . ) , atunci ca mai sus alegerea cea mai simpla este de a lua pe post de G grupul numerelor complexe de modul unu, dotat cu inmultirea uzuala a numerelor complexe. (Notatia uzuala este S^1 pentru acest grup, sfera unitate de dimensiune unu ca varietate reala.) Izomorfismul (in categoria grupurilor topologice) este dat de aplicatiile:

[Citat] Daca dorim sa avem un izomorfism de grupuri (topologice) neaparat intre si un grup "cunoscut" ( G , . ) , atunci ca mai sus alegerea cea mai simpla este de a lua pe post de G grupul numerelor complexe de modul unu, dotat cu inmultirea uzuala a numerelor complexe. (Notatia uzuala este S^1 pentru acest grup, sfera unitate de dimensiune unu ca varietate reala.) Izomorfismul (in categoria grupurilor topologice) este dat de aplicatiile:

Da, multumesc, imi este clar acest izomorfism. Ideea e ca abia m-am familiarizat ceva-ceva cu grupurile factor, pe cazul finit, iar trecerea la R/Z am facut-o pentru ca m-a "atras" bijectia aceea pe care am gasit-o intamplator intr-o carte. Sunt sigur ca pe parcurs ce avansez, voi putea avea o perspectiva mai larga.

Multumesc si sarbatori fericite!
Adi