(Problema este pusa intr-o forma care strfiga dupa reformulari... Vom tot reformula si la sfarsit suntem gata.)
Din motive de ocuparea a notatiei sunt nevoit sa notez cu
laturile triunghiului care este dat a fi triunghi. Se cere sa demonstram ca atunci si
sunt laturile unui triunghi.
[De fapt nu chiar asa, in enunt se ia cazul particular unde 1/a = 2 x (doua mii si ceva). De la o vreme particularizarile astea nu mai sunt nostime deloc. In definitiv, oamenii trebuie in matematica la unul dintre primii pasi si estetica matematicii. S-o facem macar pentru cei ce fac acum primii pasi!
Uneori, particularizarile mai au un sens, de exemplu cand avem o problema de divizibilitate si nu este evident care divizor al lui 2010 este cel care este de preferat. Omul mai incearca, mai invata ceva si de obicei pentru divizori diferiti apar si argumentari "diferite". Dar daca din 2010 si 1/2 trebuie sa-mi asociez eu un a si acest a poate fi aiurea in (0,1], atunci nu este nimic picant in a particulariza... Matematica este universala, in orice caz mai universala decat tendinta de a studia zilnic proprietatile numerelor dintre 2010 si 2210. "Gluma" din urma e valabila inca de pe vremea congreselor. ]
Bun, fara a restrange generalitatea, putem considera ca x este latura cea mai mare. (Una din ele mai exact.) Atunci si x^a este mai mare (sau egal) decat y^a,z^a, functia putere fiind crescatoare pentru puterea a>0.
Impartind cu x si respectiv x^a problema se reformuleaza echivalent:
Fie a in (0,1].
Date y,z numere reale in intervalul (0,1] cu y+z>1, sa se arate ca y^a+z^a>1.
(Asta este forma destelenita!)
Acest lucru rezulta imediat acum din:
De exemplu:
daca y=0,49 si z=0,64 si a=1/2 atunci avem
0,7+0,8 = (0,49)^1/2 + (0,64)^1/2 > 0,49+0,64 >1 .
N.B.
Access general
Conţine mesaje necitite
