Fie (G,.) un grup si H o submultime finita a lui G. Sa se arate ca daca H este parte stabila atunci H este subgrup.

Mentiune: Multimea vida pe post de H indeplineste toate conditiile impuse, nu da nastere la un grup. Trebuie exclusa! (In conditii de examen: Contraexemplu, gata!)

Fie mai departe H nevida.

Asociativitatea din G se mosteneste la nivel de H.
Avem de aratat ca elementul neutru din G se afla in H si ca pentru orice h din H inversul construit in G, h^(-1) se afla in H.

(1) Fie h in H un element arbitrar. (Acest lucru este posibil, deoarece H NU este MULTIMEA VIDA!) Consideram sirul infinit de elemente din H (fiind parte stabila)

h, hh, hhh, ...

Rezulta din finitudinea lui H ca exista m,n naturali diferiti, m<n cu proprietatea

h^m = h^n .

Facand acum calcule in G rezulta ca h^(n-m) = e se afla in H.

(2) Fie h arbitrar in H. Ca mai sus rezulta ca exista N>0 numar natural cu h^N = e in G. Inversul lui h (in G deci si) in H este atunci desigur

h^(N-1) .

multumesc