O suprafata cilindrica de rotatie de raza R, are interiorul oglinda perfecta. Intr-un punct al ei este un orificiu, prin care patrunde in interior o raza de lumina. Un foton al ei se loveste de 10 ori cu capul de oglinda, si apoi iese printr-un alt orificiu situat pe aceeasi generatoare cu primul, la o distanta de 10 diametre de acesta. Sa se determine lungimea drumului parcurs de foton in interiorul suprafetei cilindrice, in functie de R.

...al naibii foton...intra pe gaurica...si mai stie si radicali!

[Citat] ...al naibii foton...intra pe gaurica...si mai stie si radicali!

Aceasta este doar una din cele 10 solutii.

Presupun ca avem de a face cu un cilindru infinit (fara baze) sau cu baze "mate" (care inghit fotonul) pentru a "scapa" de solutiile in care fotonul se ciocneste o data, doua, trei, ... ori de una si/sau alta dintre baze. (Nu mi s-a dat inaltimea.)

Plec de la ideea ca fotonul intra in interiorul cilindrului prin punctul de coordonate ( R, 0, 0 ) si va iesi prin punctul de coordonate ( R, 0, 10.2R ).

Proiectand pe axa Oz, din motive de simetrie, punctele in care oglinda interioara a cilindrului este atinsa sunt de forma ( ?, ?, k.2R ), unde k ia valorile 1, 2, ..., 9 . Prima lovitura a oglinzii este deci in ceva de forma

Aici, unghiul a este de forma de mai sus, pentru ca dupa urmatoarele lovituri sa ajunga in punctul de iesire.
Avem deci de calculat valorile diferite pentru

si ma opun sa permit si k=0 din motive de fizica. (Avem un foton, nu un melc!)
(Pentru 5 avem solutia de mai sus, tot drumul fiind intr-un plan. Pentru k=6,7,8,9 obtinem respectiv aceleasi lungimi de drumuri ca pentru respectiv 4,3,2,1.)

[Citat] Presupun ca avem de a face cu un cilindru infinit (fara baze) sau cu baze "mate" (care inghit fotonul) pentru a "scapa" de solutiile in care fotonul se ciocneste o data, doua, trei, ... ori de una si/sau alta dintre baze. (Nu mi s-a dat inaltimea.) Plec de la ideea ca fotonul intra in interiorul cilindrului prin punctul de coordonate ( R, 0, 0 ) si va iesi prin punctul de coordonate ( R, 0, 10.2R ). Proiectand pe axa Oz, din motive de simetrie, punctele in care oglinda interioara a cilindrului este atinsa sunt de forma ( ?, ?, k.2R ), unde k ia valorile 1, 2, ..., 9 . Prima lovitura a oglinzii este deci in ceva de forma Aici, unghiul a este de forma de mai sus, pentru ca dupa urmatoarele lovituri sa ajunga in punctul de iesire. Avem deci de calculat valorile diferite pentru si ma opun sa permit si k=0 din motive de fizica. (Avem un foton, nu un melc!) (Pentru 5 avem solutia de mai sus, tot drumul fiind intr-un plan. Pentru k=6,7,8,9 obtinem respectiv aceleasi lungimi de drumuri ca pentru respectiv 4,3,2,1.)

Rezolvarea aceasta este valabila daca fotonul s-ar fi dat cu capul de pereti doar de 9 ori. (recunosc ca initial am facut o rezolvare asemanatoare (argumentul este

), si nu am folosit geometrie analitica)

[Citat] [Citat] ...al naibii foton...intra pe gaurica...si mai stie si radicali! Aceasta este doar una din cele 10 solutii.

De fapt nu e...

Bun, obiectia este pe drept facuta.
(M-a furat peisajul cu solutia particulara initial validata...)
(Nici eu nu folosesc strict vorbind geometrie analitica, dar nu am alta sansa de prezentare folosind de preferinta doar litere si cuvinte.)

Cele descrise mai sus trebuie doar putin adaptate.
Fotonul intra deci in cilindru in punctul P0 = (R,0,0) si il paraseste dupa 10 ciocniri (localizate sa zicem in P1,P2,...,P10) in P11 = (R,0,20R).
Proiectand pe axa Oz avem deci punctul de plecare, inaltime 0, 10 ciocniri la intervale echidistante pe inaltime, si iesirea. Cele 12 puncte determina 11 intervale. Prima ciocnire are loc deci intr-un punct de forma

De aici rezulta prin simetrie ca punctele de ciocnire sunt:

Stiindu-l si pe P11, rezulta ca ka eate un multiplu intreg de 2(pi). Deci a este un element de forma

Aici am omis valoarea 0 matematic posibila pentru m, pentru ca fizica imi interzica sa consider asa ceva. (Fotonul s-ar scurge de-a lungul peretelui pe drumul cel mai scurt dintre cele doua orificii.)

Acum vine in sfarsit partea foarte estetica a problemei, avem de calculat pentru lungimea L(m) a drumului parcurs ceva de forma:

Cinci solutii sunt diferite. (La incercarea dintai, numitorul era 10, mai aveam sanse sa calculez prin radicali, aici ma bucur de numitorul 11, pentru ca in mod definitiv nu am sanse...)

N.B. Un motiv in plus sa nu-mi placa fotonii.

Cum am gandit eu:

Pentru inceput, reduc problema impunand conditia ca la final fotonul sa iasa tot prin punctul de intrare

.In acest caz, fotonul se misca in discul ce trece prin punctul

perpendicular pe axa supr. cil. In triunghiul

, in care

este centrul discului, iar

sunt doua puncte consecutive in care fotonul atinge supr. cil., notez cu a unghiul dintre raze.
Ca in rezolvarea d-nului Gauss,

Pentru un k fixat, cu teorema cosinusului in triunghiul

obtin:

.
Lungimea drumului ar fi deci in acest caz,

.


Ca sa aflu lungimea drumului parcurs conform enuntului, iau portiunile de plan ce contin in ordine razele de lumina din interiorul suprafetei cilindrice, paralele cu axa supr. cil., delimitate de supr. cil. si le pun in acelasi plan, una dupa alta.
In acest mod, lungimea

a traseului fotonului din interiorul supr.cil., va fi ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic, in care o cateta este drumul

de mai sus, iar cealalta cateta este

.
Cu teorema lui Pitagora:

si de aici

care nu difera de cel al d-nului Gauss decat prin aspect.