Fie H un subgrup normal al lui G, cu ord(H)=n si [G:H]=m.
Daca (m,n)=1, sa se demonstreze ca H e unicul subgrup al lui G de ordin n.

P.S. Este corect sa spun ca daca [G:H]=m, atunci sunt exact m elemente in multimea G-H? Pentru ca G/H contine elemente de forma gH, care sunt diferite de H <=> g nu e in H, deci ar trebui sa fie m elemente ale lui G care nu sunt in H.

Multumesc.

[Citat] Fie H un subgrup normal al lui G, cu ord(H)=n si [G:H]=m. Daca (m,n)=1, sa se demonstreze ca H e unicul subgrup al lui G de ordin n.

Fie

un subgrup de ordinul n. Fie

un element arbitrar ?i fie r ordinul acelui element. Conform teoremei lui Lagrange,

Pe de alt? parte în grupul

avem

Not?m cu s ordinul elementului

. Rezult?

Tot conform teoremei lui Lagrange avem

Deoarece (n,m)=1 ob?inem s=1, cu alte cuvinte

, sau

.

P.S. Solu?ia este oarecum naiv?, probabil exist? o solu?ie mai "profi".

[Citat] P.S. Este corect sa spun ca daca [G:H]=m, atunci sunt exact m elemente in multimea G-H? Pentru ca G/H contine elemente de forma gH, care sunt diferite de H <=> g nu e in H, deci ar trebui sa fie m elemente ale lui G care nu sunt in H. Multumesc.

Ceva este neclar. Dac? te referi la diferen?a de mul?imi, r?spunsul este NU.

[Citat] [Citat] P.S. Este corect sa spun ca daca [G:H]=m, atunci sunt exact m elemente in multimea G-H? Pentru ca G/H contine elemente de forma gH, care sunt diferite de H <=> g nu e in H, deci ar trebui sa fie m elemente ale lui G care nu sunt in H. Multumesc. Ceva este neclar. Dac? te referi la diferen?a de mul?imi, r?spunsul este NU.

Pai m-am gandit asa: Daca [G:H]=m, atunci G/H={

}, cu toti

in G si nu in H. Nu?

[EDIT] De fapt, teorema Lagrange spune ca [G:H]=|G| : |H|.
Am inteles cum sta treaba, de exemplu [Z:2Z]=2, deci asta inseamna ca Z are "in plus" pe 0 si 1 (2 elemente), dar si pe celelalte echivalente cu ele, adica numerele impare.

Asadar, in abordarea mea, g_i sunt clase de echivalenta, G mai poate avea mai multe elemente care nu sunt in H, dar toate ar trebui sa fie echivalente cu un g_i.


Si multumesc pentru solutie, o fi "naiva", dar e cat se poate de clara, intrucat solutia pe care o gasisem eu cu teoremele de izomorfism mi se parea mai "stufoasa".

Cele bune,
Adi

Ca sa fie clar numai...
In notatiile de mai sus, daca 1=g0, g1, g2, ... formeaza un sistem de reprezentanti de clase distincte in G/H, atunci avem ca multimi

este o reuniune disjuncta de (m-1) multimi (clase de echivalenta) cu cate n=|H| elemente.

Din start vin cu amenintarea ca solutia nu este neaparat simpla. Am vrut doar sa ma ocup de o doleanta structurala.

Plecam cu:
H <| G, H subgrup normal in G.
K < G, K subgrup aiurea in G.
Consideram L intersectia in G a grupului normal H cu grupul K. Atunci:
L <| K, L este normal in K, deoarece pentru k in K multimea k L k^(-1) este oricum submultime in K si in k H k^(-1) = H, H fiind normal. Deci si in intersectia lui K cu H, deci si in L. Am aratat astfel cu definitia ca L este normal in K, fiind lasat pe loc de toate automorfismele interne ale lui K.

Pentru cei versati cu grupurile, cele de mai sus sunt clare si o privire asupra diagramei urmatoare clarifica situatia:

Deoarece primele doua sageti verticale sunt injectii si patratul drept marcat cu un patratel este "cartezian" (sau pull back), L fiind intersectia lui K cu H in G, rezulta ca si a treia sageata este injectie. (Din nou un lucru "cunoscut". Daca nu, luam pe elemente: fie clasa kL in K/L care se duce in clasa element neutru kH = 1H din G/H. Din kH=H rezulta imediat k in H, deci k in intersectia..., deci k in L, deci kL = 1L.)

Acum la problema: Daca K are n elemente si ordinul lui |G/H| este prim cu n, atunci din faptul ca K/L este (izomorf cu un) SUBgrup in G/H (sagaeata de mai sus fiind injectiva), rezulta:

|K/L| divide |G/H|
|K/L| divide |K|

deci |K/L| = 1, deci K/L are un element, deci K=L, deci K=H.