Buna ziua!

Exista vreo teorema caracterizare a elementelor de ordin finit dintr-un monoid infinit? Sau macar o lista de proprietati, ceva..

Precizez ca sunt oarecum sigur ca exista "specimene" de caracterizat, pentru ca in (Z,*), -1 are ordinul 2. Asta daca nu cumva este singurul exemplu...

Multumesc.

Daca monoidul nu se presupune a avea proprietati suplimentare (de exemplu comutativitate, simplificare la stanga si/sau dreapta), astfel incat sa poata fi "bagat" (mai mult sau mai putin canonic) intr-un grup (de o clasa sau alta), mi-e greu sa cred ca se poate da o caracterizare utila. Nici macar formulari relativ nerestrictive de conditii necesare pe de o parte sau conditii suficiente pe de alta nu-mi sunt cunoscute. De fapt, nici intr-un grup (necomutativ) lucrurile nu stau mai simplu. Putem intr-un grup ce-i drept sa facem mai multe constructii, dar proprietatea de a avea ordin finit nu este foarte utila.

Poate ca o clasa in care se poate spune ceva si in care se poate lucra cat de cat este cea a grupurilor comutative finit generate. Avem un subgrup frumos de torsiune in ele si o teorema a factorilor invarianti. (ZZ cu inmultirea nu este finit generat, numerele prime -greu generabile prin definitie- nefiind in numar finit...)

Daca monoidul e *comutativ* (cam mult cerut... dar mai putin ca mai sus), elementele de ordin finit formeaza un submonoid.
Dar el poate sta "foarte urat" inca in monoidul de plecare si in relatie cu grupul (Grothendieck) generat de el, anume in grupul cu elementele clase de echivalenta (x,y) (gandite ca "x-y") fata de relatia (x,y) ~ (x',y') daca si numai daca x+y' = x'+y ...

In matematica, exista doua tendinte diferite: Cea de a studia cazuri foarte particulare de structuri foarte generale (exemplu, cadrul intrebarii) sau cea de a studia structuri foarte particulare insa cu maxima exactitate. In secolul de fata, a doua tendinta este de recomandat pentru oameni care tocmai "se apuca" de matematica. Structura trebuie sa fie suficient de bogata in structura, insa totusi sa prezinte "mistere" vizibile pe cazuri particulare... Cu timpul omul vede destule si se poate ocupa si de proprietati particulare ale unor structuri mai generale, de cele mai multe ori cand acest lucru este util pentru un scop legat de asemenea "mistere"...

Desigur, doar o parere proprie.

Da, sunt convins ca intrebarea si cadrul, de altfel, este destul de vag pentru a putea fi raspuns exact (sau poate chiar pentru a putea fi raspuns).

Ca un "disclaimer", insa, mentionez ca ideea mi-a venit "dintr-o data", nu studiam nimic asemanator, ci numai o functie anume pe care o gasisem injectiva, dar nu si surjectiva si am inclus-o intr-o structura a functiilor injective, cu compunerea. Acea structura am zis ca e un monoid infinit si eu voiam sa gasesc un n natural pentru care functia sa dea identitatea, compusa cu ea insasi de n ori. Deci daca este un element de ordin finit in monoid, si de aceea m-am gandit sa intreb, sa vad daca ii pot gasi proprietati echivalente cu finitudinea ordinului.

Intre timp am abandonat pista, era o metoda de a rezolva o problema, dar era gresita. Cum intrebarea tot ma bantuia..iat-o aici

Multumesc pentru timpul si raspunsul acordat!

Cele bune,
Adi

Intrebarea este buna, de cele mai multe ori discutiile de acest soi sunt (pe termen lung) foarte utile...

Cunoscand originea intrebarii ar mai fi cateva lucruri de adaugat.
Daca f este o functie, X -> X, pentru o multime finita sau infinita X, atunci daca f are ordin finit (in monoidul M al functiilor X->X cu compunerea drept lege), deci

ff...f = Identitatea(X),

atunci este si bijectiva cu inversa f...f (o compunere mai putin).
Dac f-ul din discutie nu era surjectiv (ci doar injectiv), nici o sansa...
Deci elementele de ordin finit din M-ul de mai sus sunt tot elementele de ordin finit din grupul "permutarilor" multimii (posibil infinite) X.

Atunci deja se poate afirma ceva despre structura unui astfel de f de ordin finit N. Anume faptul ca avem un fel de "descompunere in ciclii disjuncti" de lungimi ce divi N. Explicit: X are o partitie in mai multe multimi de cardinalitate care divide de fiecare data N, astfel incat f restrictionata la fiecare bucata din aceasta partitie este o permutare ciclica.