Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul M(1,4)si taie pe semiaxele pozitive de coordonate segmente, suma lungimiilor carora este minima.

Fac mai intai observatia ca panta dreptei trebuie sa fie negativa, adica dreapta sa "coboare", altfel, va determina un singur segment, pe OY.

Daca punem ecuatia dreptei y=mx+n, cu m<0, cum am zis, n se cheama "ordonata la orgine", adica punctul in care dreapta intersecteaza OY.

Obtinem niste ecuatii din urmatoarele consideratii:
1. M este pe dreapta, deci coordonatele sale verifica ecuatia dreptei. (*)
2. Segmentele determinate pe axe se obtin astfel:
-> pe OY este distanta de la O la punctul de coordonate (0,n), adica tocmai n.
-> pe OX, se pune y=0 si se obtine x=-n/m, deci punctul va fi de coordonate (-n/m,0), iar distanta corespunzatoare va fi tocmai -n/m.



DECI: Stiu ca 4=m+n (*) si trebuie sa aflu m si n astfel incat n+(-n/m) (**) sa fie minim.

Pot sa scot m=4-n, introduc in (**) si pot sa ma complic punand f(m)=(**), aflu punctul de minim cu derivata sau cu observatii pertinente bazate pe faptul ca o sa obtin un raport de polinoame, unul de grad 1 si unul de grad 2.

(Sau pot sa am vreo stralucire de inspiratie care mie imi lipseste in acest moment si imi cer scuze pentru aceasta )

Notez cu mu valoarea pozitiva a lui -m de mai sus.
Atunci, din cate am inteles de mai sus avem de minimat:

cu egalitate doar pentru mu pentru care mu=4/mu, deci pentru mu=2,deci pentru m=-2.

(A posteriori se alege ecuatia unei drepte prin (1,4) sub forma... pentru a face calculele din prima.)