Se da cubul ABCDA'B'C'D' de latura a si M,N,P mijloacele laturilor AB, AD, A'C'.
a) sa se arate ca (MNP) perpendicular pe (A'AC)
b) sa se afle unghiul dintre A'C si planul (MNP)
c) Calculati distanta dintre MN si AD'.

Nu reusesc sa rezolv punctul c.

(c)
Ducem prin N o paralela la AD'.
Aceasta taie latura DD' la jumatatea ei, sa zicem Q.
Doar pentru a vedea mai usor figura, duc si din M o paralela la AB'.
Aceasta taie latura BB' la jumatatea ei, sa zicem R.

Este "clar" ca Q,P,R sunt coliniare, ca P este centru cubului, ca P este mijlocul segmentului QR.
Distanta de la AD' la MN este egala (prin definitie) cu distanta de la AD' pana la planul cu multele puncte M,N,P,Q,R.
Deci avem de calculat distanta de la A la planul (M,N,P).

O posibilitate este de a calcula volumul tetraedrului (A,M,N,P) in doua moduri:
- o data folosind baza (M,N,P) si inaltimea - numarul cautat
- o alta data folosind baza (A,M,N) (juma de patrat de latura a/2) si inaltimea din P de masura tot a/2.

O alta posibilitate este de a lua in plan sectiunea planului AA'C'C cu datele problemei. Anume, unde taie MN pe AC? Fie P' proiectia lui P pe baza ABCD, deci centrul acestui patrat. Atunci AMP'N este un patrat, iar centrul lui, U, este intersectia cautata...
Macar aici mai pot desena...

Desigur, U este la jumatatea lui AP', deci la distanta |CA|/4 de A.
Avem de calculat distanta x de la A la dreapta PU.
Cel mai simplu este calculul (dublului) ariei triunghiului APU in doua moduri. Avem anume:

|PU| . x = |AU| . |PP'|

Deci care este distanta?