Aceasta problema este ``un caz particular standard de constructie a unui corp finit''. Nu stiu daca este in acest punct interesant sa ma lamentez asupra nemarginirii pusa in fata celui ce da (de) bac, dar este de observat ca multe din probleme preiau instante "cunoscute" de obiecte de mate de fac si PILOTEAZA pe cel ce da examenul PRIN PASI MICI SI SIMPLI PANA LA SOLUTIE.
Explicit, M1, var 016, subiectul III, g:
Notam cu
CORPUL cu cinci elemente.
(Litera F de la FIELD, corp, este de preferat, de fapt in matematica, peste tot in lume cu Z indice cinci se noteaza cu totul altcxeva...)
Atunci consideram (ca si in problema) un POLINOM IREDUCTIBIL=PRIM peste acest corp, de necunoscuta X. In problema, f este XX+2 = XX-3 (coeficientii sunt modulo sinsi).
(Aici XX este desigur X la patrat, asa scria si Newton formulele pe hartie, penita fiindu-i prea graosa...)
Consideram inelul
,
cu operatiile obisnuite (induse). De exemplu X.X este 3 (in acest inel).
Ne convingem usor ca operatia
definita in problema este exact aceasta.
Se poate demonstra ca acest inel, IF5[X] / (XX+3), citit inelul obtinut din inelul de polinoame peste corpul cu cinci elemente considerat modulo polinomul (prim=ireductibil aici) XX+3=XX-2, este chiar un corp. (Nu se foloseste mai mult deecat algoritmul de diviziune cu rest al lui Euclid in inelul de polinoame IF_5).
Fiind CORP, notam chestia obtinuta cu K, vine de la faptul ca germanii au dus departe chestia cu corpurile, iat corpului i se spune pe germana K"orper.
Ne uitam la grupul multiplicativ ( K fara de zero, multiplicare) .
Din teorema lui Lagrange, ordinul oricarui element divide ordinul acestui grup, deci 24:
Rezulta imediat:
Este bine intotdeauna sa se inteleaga CADRUL general al unei probleme.
Astfel de probleme sunt FOARTE IMPORTANTE in practica, ASTAZI (si probabil si maine), codurile si criptologia sunt undeva intra matematica si informatica, implementand operatii in CORPUL cu
elemente de forma
unde f este un polinom ``simplu'' de grad 127 din acest inel. Dac nu ma insel, f este X^127 + X + 1 . Deci NU subestimati ``nebuniile de probleme'' pe care le aveti in fata, in curand se primesc ``bani buni'' pe intelegera lor... (in fine cam 15-20 din toata promotia 2007 din Ro vor avea parte de ei... dar de ce nu...)
Exista sisteme de algebra computerizata care rezolva ``in cateva linii'' problema data: GAP4 este un exemplu. Corpul K din problema este GF(25)=GF(5^2) si se implementeaza imediat:
Zero-ul din fata spune tot...
GAP este un sistem de algebra computerizata liber, http://www.gap-system.org/
Download liber, instalare ``imediata'', uz ``mai greu la inceput''.
Doar pentru cei cu ``vedere lunga''.
(Introducerea lui GAP in scoala (mate+info) ar fi un pas important pentru largirea orizontului profesorilor prin intrebarile de neoprit ale elevilor. Programele scolare trebuie rescrise, incat nu numai C, C++, Pascal, cu dezvoltare de soft pe platforme ``primitive'', necomerciale, sa intre in clase. Cert este, ca piata de programare este mult mai mare decat cea de matematicieni, in lumea actuala. Programarea ar fi buna de pe clasa a VI-a, la fel de bunna ca si fizica, in plus s-ar rezolva toate acele sisteme penibile de doua ecuatii cu doua necunoscute, liniare sau nu, in cateva secunde. 100! se poate printa, expresii trigonometrice se simplifica de la sine, derivate si integrale pot fi folosite macar astfel in invatamantul fizicii inainte de clasa a XIa, in care si asa nu se folosesc. ACEASTA PARANTEZA REFLECTA DOAR PUNCTUL DE VEDERE A CELUI CARE POSTEAZA, NU REFLECTA NICI PE DEPARTE CADRUL GREU DISCUTABIL A CEEA CE OBIECTIV AR SPORI PRNTRU INTREGI GENERATII DE ELEVI UN PLUS CALITATIV IN EDUCATIE. Individual, fiecare elev trebuie sa decida pentru sine ce drum urmeaza si cu ce metode ajunge mai repede la tel. TRECEREA DE EXAMENE ARE PRIORITATE. Dar la fel de mult conteaza pentru unii elevi profitul personal, calitativ, din ceea ce invata.)
ma asteptam la ceva mai usor , dar se pare ca tratez bacu cu superficialitate 
Access general
Conţine mesaje necitite
