polinomul f apartine lui K[X] impartit la X-a apartine lui K[X] si X-b apartine K[X] da caturile q1 si q2.sa se arate ca q1(b)=q2(a)

In cazul de fata este poate relevant sa se pomeneasca cine este K, nu de alta, dar complicatii pot apare, daca K nu este un corp.
Eu plec pentru inceput de la ideea ca avem un corp K si ca au loc divizibilitatile in inelul polinomial cu descompunere unica in factori primi/ireductibili (acelasi lucru in acest caz):

(X-a) divide f in K[X]: Exista q1 in K[X] cu f=(X-a).q1 .

(X-b) divide f in K[X]: Exista q2 in K[X] cu f=(X-b).q2 .

(Ar fi bine de spus in enunt ca a si b sunt constante, elemente din K.)
Problema este triviala in cazul in care a=b. Consider mai departe doar cazul in care a este diferit de b.

Rezulta:

0 = (b-b).q2(b) = f(b) = (b-a).q1(b) ,

0 = (a-a).q1(a) = f(a) = (a-b).q2(a) ,
deci daca lucram peste un CORP K, deoarece (a-b), (b-a) sunt elemente nenule rezulta:

q1(b) = 0 = q2(a) .

(Cele de mai sus au loc daca K este un inel comutativ fara divizori ai lui 0...)

Nu e nevoie de divizibilitatea lui f cu x-a sau x-b.
Avem q1(b)=q2(a)=(f(b)-f(a))/(b-a).

(Pentru a imparti trebuie sa avem a diferit de b si sa chiar lucram intr-un corp K. Nu am folosit mai sus teoria divizibilitatii in K[X], prin a arata ca f se divide cu (X-a)(X-b) si apoi de a face rost de q1(b)=q2(a)=0, desi am rezistat cu greu.)

(Mai degraba am vrut sa conving oamenii la plasarea de probleme sa precizeze ce e de precizat, aici ce este K si faptul ca a,b, sunt elemente din K si nu cumva din K[X]... De obicei, cand oamenii sunt nevoiti sa precizeze totul rezolva jumatate de probleme sau -in caz de apatie contemplativa- macar iau la cunostinta ce vrea problema...)

De?i Rea are 83 de mesaje postate, nu se obose?te s? scrie în Latex. Eu am în?eles problema a?a:
Fie

un corp comutativ ?i

Fie

un polinom. Se ?tie c? prin împ?r?irea lui

la

câtul este polinomul

, iar prin împ?r?irea lui

la

câtul este polinomul

S? se arate c?

Din teorema împ?r?irii cu rest avem

precum ?i

Deducem imediat c?

Mersi mult! Am inteles in sfarsit la ce punct nu e nevoie de divizibilitate si ca in enunt avem impartire cu rest in inel polinomial.
(Problema in forma initiala sufera rau de Parkinson.)

[Citat] Problema in forma initiala sufera rau de Parkinson.

Din p?cate