se considera polinomul F e C[X],F=xla4+xla3+xla2+x=2.Sa se determine catul impartirii polinomului F la polinomul G=x-cos p-isin p,p apartine(0,pi/2),stiind ca restul impartirii este r=1+i(1+radical in 2)

Termenul liber al lui F este 2 sau -2?

2

Banuiesc ca este 2. Indiferent de situatie ideea este urmatoarea, la care as avea nevoie de putin ajutor din partea d-nilor profesori la final.

Notam

Fie

Banuiesc ca din ultima relatie putem afla p.

Din ultima relatie obtinem

In momentul asta m-am gandit la formulele :

dar chiar si asa nu reusesc sa aflu p.

Problema se poate reformula pentru a avea ceva estetica (si a fi "destelenita"):

Se da polinomul:

Stiind ca are o radacina complexa a de modul 1,

sa se determine radacinba (sau radacinile, daca mai multe au sansa...)

precum si catul impartirii

.
Aducem mai intai la o forma mai simpla:

Avem deci de rezolvat

Deoarece scrierea unui numar complex nenul ca produs al unui numar real (strict) pozitiv cu un numar complex de modul unu este unica rezulta de mai sus:

(Avem doua cazuri deoarece nu stim semnul fractiei cu sinusurile...)
Din cea de-a doua ecuatie aflam ca 2p este pana la un multiplu de 2(pi) egal cu plus sau minus (pi)/2 . Deci p are cam urmatoarele sanse:

(Desi as putea deja lucra cu doua cazuri dupa putina argumentare, iau didactic patru...)
Mai departe recomand in acest secol urmatoarea procedura de excludere care este bazata pe matematica bine pusa la punct a aproximarii: Se ia un calculator (de buzunar) si se verifica pentru fiecare caz daca raportul de sinusuri se abate sau nu de ce trebuie sa dea dincolo de toleranta de calcul a calculatorului (de buzunar). Avem, in ceva ce pot prezenta aici:

Ruland in sage obtinem:
|p| = \frac{\pi}{4} semn = -1 raportul supra (1+sqrt(2)) = 1.00000000000000
|p| = \frac{\pi}{4} semn = 1 raportul supra (1+sqrt(2)) = 1.00000000000000
|p| = \frac{{3 \pi}}{4} semn = -1 raportul supra (1+sqrt(2)) = -0.171572875253810
|p| = \frac{{3 \pi}}{4} semn = 1 raportul supra (1+sqrt(2)) = -0.171572875253810

Doar (pi)/4 poate fi considerat, altfel fie partea cu (1+sqrt(2)) fie partea cu plus sau minus i nu este (numeric respectiv exact) cea care trebuie. Mai avem in sfarsit de calculat sin(5(pi)/8) si sin(pi/8), lucru care se pace usor prin ecuatiile:

Pentru ca problema sa fie intr-adevar urata ni se cere catul.
(Nu vad cum se poate calcula catul fara a pune mana pe radacina... In fine.)
Revin, daca pot latexui ce am aici...

Am o nelamurire legata de p. Dvs ati spus ca

dar problema spunea ca

si in acest caz dupa toate calculele pe care le-ati facut ramane ca p poate fi doar

din start.
Urata problema!

Catul:

Nu insist sa calculez mai departe...

Pentru cei ce vor sa stie de ce m-am apucat de solutie:
Polinomul dat este "urat", doar pentru ca traieste peste corpul

generat peste QQ de doua elemente de ordinul 2. Acest corp are grad patru peste QQ.
De obicei, daca vrem sa vedem obiecte "rationale" peste el, trebuie sa simetrizam in raport cu cele patru automorfisme ale acestui corp definite prin a trimite
pe i in i sau -i si pe radical din doi in plus radical din doi sau in minus radical din doi. Obtinem patru automorfisme ale acestui corp, date de:

De ce este util acest lucru la scoala? Pentru ca "rationalizarea de numitori" se face cu aceste cunostinte. De exemplu, daca vrem sa calculam
1/(7+3i+sqrt(2)) ca un element combinatie liniara de 1, i, sqrt(2) si i*sqrt(2) cu coeficienti rationali, (aceasta este formularea exacta a ceea ce se intelege prin rationalizare...), atunci ne uitam la egalitatea:

si din motive de teorie Galois, numitorul este dupa inmultire un intreg!

La noi, fie avem un soft care stie sa factorizeze peste corpul dat, asa ceva exista, fie inmultim noi cu conjugatele, obtinem un polinom (gigantic) peste ZZ si il factorizam pe acesta. La noi, scriind cod:

Acel factor (x^4+1) imi spune ca F trebuie sa aibe drept radacina pe una din radacinile lui, care se descopera repede la nivel de a IX-a. Totusi, pentru a rezolva cinstit, nu am gasit ceva mai bun decat ce este mai sus...


Pentru a vedea ce pot softurile libere cer a se survola codul:

Mai sus,
k este corpul de numere generat de solutia ecuatiei x^2+1=0, care este notata cu i, deci i este cam cine stim noi ca este i,
K este corpul de numere extensie a lui k generat de solutia ecuatiei x^2-2=0, care este notata cu u, deci u este cam radical din doi,
R este inelul de polinoame peste K,
in R se definieste polinomul F ca in problema,
apoi cererea de factorizare este imediat satisfacuta...

Am mai calculat si norma unui element pe care l-am inventat mai sus...

Sper ca e clara directia in care se poate duce (rau de tot) matematica si ce fac fetele si baietii asa prin lume pe astfel de teme...

m`ati ajuta mai mult cu o rezolvare pe intelesul unui copil de`a 12a... :D