|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Sa se gaseasc toate polinoamele ireductibile
din inelul
.
Acum nu stiu ce sa fac
-Sa pp.coeficientul dominant 1 si sa le caut,cu rabdare de forma
-sau sa pp. prin absurd ca sunt reductibile,de forma
sau
si formez un sistem...
---
Anamaria
|
|
|
Voi nota cu
sau cu GF(3) (general field with 3 elements) corp"ul" obtinut prin luarea intregilor modulo 3. Atunci, peste IF_3[X] avem (geometrie enumerativa): Polinomul 0 este un divizor al lui zero, nu este considerat a fi ireductibil. (Gradul lui este in unele carti definit formal a fi minus infinit, in altele -1.)
Polinoamele de gradul 0 sunt 1 si -1=2, unitati, din nou nu se pune problema ca sa fie ireductibil (in sensul definitiei din teoria numerelor sau din algebra comutativa. La fel este in ZZ cazul cu 1, care nu este considerat prim/ireductibil, altfel avem probleme cu descompunerea *unica* in factori primi de exemplu.)
Ploinoamele de gradul unu sunt in numar de 2x3=6, deoarece ele sunt de forma a(x+b) cu a in {1,2} si b in {0,1,2}. Ele sunt ireductibile. Dintre ele, 3 sunt monice.
In gradul doi, un polinom se scrie unic sub forma a(x^2+bx+c) cu a in {1,2} si b,c in {0,1,2}. Avem deci 2x3x3=18 polinoame. Dintre acestea le eliminam pe cele reductibile, care sunt (unic scrise pana la o permutare a factorilor) de forma a(x-x1)(x-x2) cu a in {1,2} si x1,x2 in mult5imea cu elementele {0,0}, {0,1}, {0,2}, {1,1}, {1,2}, {2,2}.
Avem deci 3x3=9 polinoame monice de gradul II din care 6 sunt reductibile si restul de 3 nu.
Avem deci 2x3x3=18 polinoame de gradul II din care 2x6=12 sunt reductibile si restul de 2x3=6 nu.
In gradul 3, sunt in total 2x3x3x3 polinoame, deoarece ele se scriu unic sub forma a(xxx + b xx + c x + d) cu a in {1,2} si b,c,d in {0,1,2}. Pentru a=1 obtinem cele 27 de polinoame monice de grad 3. Dintre acestea, reductibile sunt cele
- de forma (x-x1)(x-x2)(x-x3) cu toate posibilitatile de luare de "cuvinte comutative" in literele 0,1,2. Acestea sunt:
000, 111, 222 (3 bucati)
001, 110; 002, 220; 112, 221 (6 bucati)
012 (unul singur)
sau
- de forma (x-x1)(xx + mx + n) unde factorii sunt polinoame ireductibile. Deoarece am facut numaratoarea in gradele 1 si 2, avem in total 3x3 astfel de polinoame monice reductibile.
Raman 27 - (3+6+1) - 9 = 27-19 = 8 polinoame monice ireductibile in acest grad.
In total sunt deci 2x8 = 16 polinoame de gradul 3 ireductibile.
Statistica:
Grad O : Nu se pune
Grad I : 3 polinoame monice ireductibile
Grad II : 3 polinoame monice ireductibile
Grad III: 8 polinoame monice ireductibile
Grad IV : ???
Problema aceasta este relativ importanta, deoarece daca avem un polinom (monic) ireductibil P peste inelul de polinoame peste corpul cu trei elemente, sa zicem de grad d, atunci
[ multimea de clase de resturi modulo P ]
[ cu adunarea si inmultirea si... mostenite ]
formeaza un corp de grad (3 la d), notat GF(3^d), unicul corp pana la izomorfism cu acest numar de elemente. Si de ce ne intereseaza pe noi asa ceva? Deoarece de exemplu GF(2^128) este un corp foarte bun de codificat in zilele noastre. Deci cu putin noroc putem sa ne castigam banii o viata intreaga din aceasta structura...
Revin la problema data. Desigur ca exista deja soft matematic pus sa rezolve astfel de probleme de geometrie (algebrica) enumerativa. Apar -la un nivel usor mai avansat- formule uimitoare, unele dintre ele facand legatura cu lucruri (ne)intelese in fizica! (Cuvint cheie: Verlinde, de exemplu...)
La noi, folosind sage (www.mathsage.org, care face ceva mai bine / structurat unele lucruri in ceea ce priveste *structurile* algebrice decat concurenta pe bani sau furt (ne)tolerat) avem de exemplu de tiparit:
(Nota: Polinoamele de mai sus sunt ireductibile si peste ZZ -si QQ cu o lema a lui C.F. Gauss- deoarece daca am avea o descompunere peste ZZ, a m avea si una modulo 3... Astfel de boli simple mi-au fost de ajutor pe la molimipiade...)
---
df (gauss)
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47558 membri,
58582 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
