Buna ziua !
Revin cu o problema ce momentan imi da batai de cap .
Se considera piramida regulata VABCD cu varful V in care masura unghiului format de 2 muchii laterale opuse este de 45 grade . Punctele M,N si P sunt respectiv : proiectia punctului A pe dreapta VC , simetricul punctului M in raport cu planul

si simetricul punctului N in raport cu punctul O . (O centrul bazei piramidei) .

Cerinte :

a)Aratati ca poliedrul MDNBP este piramida regulata.
b)Determinati masura unghiului dintre dreapta ND si planul (ABC).

Mentiuni:

1)Problema este de la Olimpiada de Matematica , Etapa judeteana a municipiului Bucuresti - 16 februarie 2002
2)Am si baremul , dar in continuare sunt nelamurit !

Ce zice baremul :
Subiectul 3

a) N apartine

NBPD este patrat
MO perpendicular DB
MO perpendicular ON
b)Triunghiul MBP este echilateral
MP perpendicular pe

si MS=SP ( {S} =

intersectat cu

Finalizare : m(unghiului ( ND,(ABC)))=30 grade


3)Cum am facut desenul :
A stanga jos
B dreapta jos
C stanga sus
D dreapta sus
V varf

4) Problema este de clasa a VIII-a

Multumesc mult !

In criza de timp, fac doar un pseudo-desen a ceea ce se intampla in planul VAC:

Comentarii care ar trebui sa ajute la terminat problema:

Consideram transformarea geometrica "simetrie fata de planul VBD", care trebuie vazut ca un plan perpendicular prin VO pe planul (suprafata) hartiei/monitorului. Aceasta duce A in C si C in A, lasa pe loc V si conserva perpendicularitatea. Planul VAC sta ca multime de puncte pe loc, simetria fata de VBD revine in acest plan la simetria fata de dreapta VO. De aceea, N este piciorul perpendicularei din C pe VA.

Planurile VAC si VBD sunt perpendiculare, deoarece au dreapta VO comuna si in planul perpendicular pe ea, planul punctelor A,B,C,D, deci, diagonalele patratului (ABCD) sunt perpendiculare (si determina impreyuna cu VO respectiv VAC si VBD).

Dreapta (BD) este perpendiculara pe planul (VAC), deci si pe dreapta (NOP) din el. Ramane sa aratam ca segmentele NO si AO sunt de aceeasi masura (oentru ca AO si BO si CO si DO sunt de aceasi masura). Aceasta rezulta usor din triunghiul dreptunghic CNA cu unghiul drept in N, mediana din N fiind "raza" in semicercul de diametru AC. Deci BNPD este patrat avand diagonalele ce se taie la jumatatea lor, perpendiculare si egale.

Daca tot am vazut acest semicerc de diametru AC, atunci vedem imediat ca trapezul ANMC este inscriptibil in acest semicerc. Unghiul din V este unghi exterior cercului de diametru AC. Masura lui se scrie cu ajutorul diferentei arcurilor subintinse. Rezulta usor ca masura arcului (MN) este de 90 de grade. Deci unghiul la centru <(MON) este de 90 de grade. Deci Piramida cu varful M si baza patratul NBPD este dreapta, deci regulata.

Ne uitam la piramida regulata (M;N,B,P,D). Nu este chiar "oarecare", inaltimea ei o stim deja... Deoarece triunghiurile MOB, MOP, BOP sunt trei triunghiuri dreptunghic isoscele egale (congruente), rezulta ca MBP are laturi egale, deci este echilateral. (A se desena piramida separat, daca sunt dubii...)

Este usor de aratat ca in rombul VAWC, W fiind simetricul lui V fata de O, punctul P este simetricul lui N fata de O si simetricul lui M fata de AC. Fie S ca in figura.

Calculam acum unghiul dintre MB si planul ABC, ca asa ne-a condus baremul.
Punctul B se afla pe acest plan. Trebuie sa ducem atunci perpendiculara din M pe plan si sa-i luam piciorul. Acesta este S. Atunci unghiul cautat este unghiul <(MBS), unghiul format de latura MB si inaltimea BS in triunghiul echilateral. El are masura de 30 de grade.
Pentru a calculcula ce se cerea mai bine ne pilotau cu T si Q in loc de S si P...