Salut, am si eu o problema:

Se da un cerc de raza r, sa se calculeze raza unui alt cerc, cu centrul pe circumferinta primului, astfel incat aria intersectiei lor sa fie egala cu jumate din aria cercului cunoscut.

Am atasat si un desen explicativ, sper ca e de ajutor. http://yfrog.com/j0cercurij

As dori sa nu fie rezolvata cu integrale problema (am vazut pe site ca aria se poate calcula si cu integrale).

[Citat] Salut, am si eu o problema: Se da un cerc de raza r, sa se calculeze raza unui alt cerc, cu centrul pe circumferinta primului, astfel incat aria intersectiei lor sa fie egala cu jumate din aria cercului cunoscut. Am atasat si un desen explicativ, sper ca e de ajutor. http://yfrog.com/j0cercurij As dori sa nu fie rezolvata cu integrale problema (am vazut pe site ca aria se poate calcula si cu integrale).

Ceea ce dori?i dv. nu este neap?rat posibil. La urma urmei, integralele au fost introduse deoarece chiar avem nevoie de ele! Chiar sunt folositoare!

se poate rezolva si fara integrale, numai cu geometrie de clasa a 8a, dupa spusele profesorului. Nu am studiat inca integralele, deci acea rezolvare ar fi inutila.

Am observat in ultimele zile ca de fapt -privind problemele propuse pentru a VIII-a si optimismul celor ce le propun - ei bine, pe clasa a VIII-a s-au facut toate lucrurile necesare pentru a aborda probleme de liceu, daca nu se cere explicit o derivata sau o integrala sau asa ceva.
Cam acelasi lucru se poate spune si despre problema de fata.
Eu o s-o incep si o s-o duc cat de departe pot cu metodele de a VIII-a.
Apoi vreau sa vad explicit ce spune acel profesor care a fost de parere ca se poate rezolva ca pe a VIII-a despre ce urmeaza la primul loc de impotmolire...

Pentru a nu mai complica notatiile, consideram

r = 1

(aceasta fiind o normare care nu conteaza, vom cauta un unghi in curand...)
Consideram "figura:

Fie AM raza cautata. Inainte de a incepe sa demonstram ceva, este bine sa vedem intre ce valori se poate afla raza cautata...

Daca raza AM -- in cercul cu centrul in A cautat -- este egala sau mai mica decat raza r=1 a cercului cu centrul in O, atunci intersectia celor doua cercuri este strict continuta in partea (jumatate) din cercul de centru O delimitata de diametrul perpendicular pe AC. AM este prea mic.

Daca raza AM este mai mare sau egala cu latura partatului (deci cu radical din doi), atunci intersectia celor doua cercuri contine jumatatea de cerc pomenita mai sus, deci este prea mult.

Rezulta printr-un rationament de (monotonie si) continuitate cunoscut inca de pe clasa a VIII-a (la nivel geometric), ca solutia va avea

In particular, proiectia N a lui M pe OA se afla intre O si A.

Notam cu

unghiul <(OAM) si preferam sa consideram ca acest unghi este necunoscuta.

Arcul de cerc (CM) are masura 2x. Deci arcul de cerc (MA) are (la nivel de a VIII-a) masura 180 - 2x (in grade). Deci unghiul la centru <(MOA) este de aceasta masura. El subantinde coarda AM, de unde dintr-un calcul usor - considerandu-i bisectoarea - rezulta

Din A ducem sectorul de cerc cu centrul in A, marginit de razele AM si AO. Aria lui este:

Din O consideram sectorul de cerc, marginit de razele OM si OA. Aria lui este:

Sectoarele de cercuri diferite ce au condus la calculul ariilor A1 si A2
- dau reunite jumatate din partea comuna a cercurilor din enunt
- si dau intersectate triunghiul (plin) AMO. Aria acestui triunghi este:

Avem deci de rezolvat ecuatia:

Ceea ce am obtinut nu se pomeneste si nu se rezolva la liceu. La facultate se poate determina o solutie aproximativa. Chair daca noi nu cautam x, ci de fapt expresia ce determina AM, nu vad nici o sansa prin care un profesor sa iasa basma curata la afacerea asta cu problema propusa pentru clasa a VIII-a.
Pe vremuri mai postam si solutia aproximativa in astfel de cazuri, punand un calculator sa lucre. Nu o sa fac acest lucru acum, ca sa se vada clar ce inseamna ceata la nivel de clasa a VIII-a. (Ea exista si la nivel de liceu si facultate in acest punct. Daca exista interes, postez mai incolo liniile.)

Acum incepe de fapt problema...