am un exercitiu pt rezolvat
aratati ca int. gen. e convergenta si determinati valoarea ei:
integrala de la 0 la infinit din:
dx/(x^4+1)

[Citat] am un exercitiu pt rezolvat aratati ca int. gen. e convergenta si determinati valoarea ei: integrala de la 0 la infinit din: dx/(x^4+1)

Descompune în factori numitorul, dup? care descompui expresia ra?ional? în frac?ii simple. Revino dac? nu merge.

Descompunerea poate pune probleme...

Descompunerea in fractii simple o (calculez si) tiparesc repede cu calculatorul (sage -> www.mathsage.org)
Cod:

In fine, cer scuze pentru harababura de mai sus, ideea este ca "latex" aplicat pe ultimul lucru calculat (underscore, _ , mai sus) tipareste pentru mine codul latex pentru acea expresie, ceea ce da dupa latexuire in:

(Am rearanjat usor cu mana codul latex...)

N.B. Computerul este de parere ca integrala improprie cautata este:

Bafta!

Exista o alternativa ceva mai simpla. Notand

si

, putem calcula imediat

si

cu substitutiile

De exemplu,

[Citat] am un exercitiu pt rezolvat aratati ca int. gen. e convergenta si determinati valoarea ei: integrala de la 0 la infinit din: dx/(x^4+1)

Sunt curios unde ati primit problema. Nu de alta dar ar putea fi o frumoasa aplicatie la teorema reziduurilor de la analiza complexa.

e dintr-o carte pt anul I de facultate:
'Calcul integral.Analiza complexa'

Solutia de analiza complexa ar putea suna asa:
In primul rand observam (in analiza reala) - folosind substitutia y=-x say simetria functiei si interpretarea ca arie de sub grafic pana la axa Ox - ca are loc:

Consideram acum conturul INCHIS urmator, pe care il numim

D = D(R)

Aici punctele x1,x2,x3,x4 sunt radacinile ecuatiei x^4=-1, lucru care se calculeaza pe a IX-a, ele au toate modulul 1 si argumentele respectiv:
pi/4 , 3pi/4 , 5pi/4 si 7pi/4 .
Ele sunt punctele singulare, poli chiar, ale functiei (rationale) de integrat. Doar primele doua se afla in interiorul conturului.
Deoarece putem usor majora integrala pe semicerc, parametrizata de x = R exp(it) = R( cos t + i sin t ) cu t intre 0 si pi, *pentru R suficient de mare*

pentru R care tinde la infinit.

Rezulta ca in limita din integrala de la minus R la R putem lua de fapt tot conturul inchis (corespunzator orientat).
Dar integrala pe conturul inchis se scrie ca suma reziduurilor in aceste puncte.
Reziduurile se pot intelege usor si la nivel de clasa a XI-a, daca le definim oamenilor ce sunt. Ei bine, nu definesc in general, ci sugerez ce ar fi, exemplificand pe calculul reziduului functiei date in "polul" (simplu) x1:

Este clar ca polinomul x^4+1 se descompune in patru factori liniari peste numerele complexe,

unde de exemplu x1 este cos(pi/4) + i sin(pi/4) .
Este clar ca functia 1/(x^4+1), vazuta ca o functie (rationala ~ "polinom/polinom") nu este definita pentru toate numerele complexe. Exceptie fac cele patru radacini ale numitorului. Consideram acum functia 1/(x^4+1) intr-o vecinatate a lui x1, care nu mai contine si celelalte 3 puncte critica.
Atunci este clar cine ne enerveaza in numitor. Consideram formula:

si observam ca (x-x1) ne face necazuri "simple" la numitor, i.e. nu apare la o putere mai mare. Ei bine, atunci reziduul este limita la functia rationala ce ramane daca "scoatem din ea multiplicativ" acest 1/(x-x1). Avem desigur

si analog pentru x2.
Putem pune acum calculul cap la cap (de fapt, in analiza complexa "se stie trucul" cu majorarea integrandului pe un contur rotund departe de zero si chestia cu reziduurile de functii rationale, deci pentru un student versat solutia incepe de fapt acum si se termina curand...

destul de 'frumos' obtinuta solutia,desi cred ca in carte se cerea rez.prin metode de liceu

In fine, mai sus s-a pomenit ceva de analiza complexa, care este materie de facultate si la care nu exista (in romana) o oarecare sursa de catat mai indeaproape. Mi-am zis atunci sa tiparesc explicit despre ce e vorba... Daca este nevoie de o metoda "de lisheu", mai sus tocmai s-a indicat o substitutie inteligenta cu care lucrurile se rezolva repede... Detalli:

Pentru zeta fie -1 fie +1 avem

Notand cu I(-1) respectiv cu I(1) integrala improprie corespunzatoare ca mai jos avem:

Este foarte "usor" sa "calculam" acum I(+1) daca avem grija sa coordonam bine R si S in convergenta lor catre 0 si respectiv infinit. Aceasta este singura finete de care este nevoie. (Cine foloseste substitutia de mai sus trebuie sa stie ce face, anume ca se introduce singularitatea radical din doi in numitor...) Ei bine, luam S=1/R, deodata nu mai avem nimic de calculat.

(Totusi, trebuie avuta o oarecare cunoastere a lemei substitutiei, deoarece aceasta lema este o poveste mai lunga despre functii cu domeniu de definitie... care la sfarsit satisfac o oarecare formula.)

Ramane:

Concluzie: