Fie S si T doua puncte in interiorul triunghiului ABC dreptunghic in A , astfel incat

.Daca

demonstrati ca AS=DT ,unde D este piciorul perpendicularei din A pe [BC].
Am gasit o metoda de rezolvare a problemei folosind corespondenta dintre unghiul inscris in cerc si arcul de cerc corespunzator.


Ar mai exista o alta metoda de rezolvare?O alta idee ar fi sa consideram punctul O mijlocul segmentului [AB] de unde deducem :SO=TO=DO=AO=BO insa nu am reusit sa demonstrez ca unghiurile AOS si TOD sunt congruente.

Punctul C ma enerveaza atat de tare, incat reformulez problema.
In acest mod cred ca esenta este atinsa si solutia (una sau alta) transpare mai usor.

Consideram un semicerc de diametru AB.
Se ia un punct aiurea D pe acest semicerc.
Se mai ia o coarda in acest semicerc, ST, care sa fie
- fie perpendiculara pe BD
- fie paralela cu AD, ceea ce este mai placut, deoarece scapam si de F.

Avem deci doar literele A,B,D,S,T de considerat. Restul ingreuneaza desenul.

(Pentru minimalisti: putem sa uitam desigur si de B... Ajunge: Fie trapezul inscriptibil ASTD cu AD || ST...)

De aratat:
AS = TD (fie ca coarde fie ca arce)

Solutii:

(1) Pai s-a dat (aproape) ca ASTD este un trapez inscris in cerc, deci (din motive de simetrie fata de raza perpendiculara pe laturile paralele -de exemplu) este trapez isoschel, ceea ce se cere.

(N.B. Centru cercului O este pe aceasta axa.
Nu cred ca este usor sa dau o solutie folosind O care sa evite pana la urma aceasta simetrie sau punctele de pe axa de simetrie care se afla pe baze sau ceva asemanator...)

(2) Daca vrem neaparat F: Unghiul de 90 de grade din F este unghi exterior cercului, subantide deci arcuri de cerc ale caror diferenta este dublul, deci 180 de grade. Deci - in masuri)
( celalalt semicerc ) impreuna cu ( arcul AS ) minus ( arcul TD )
este cat un semicerc.
Rezulta usor (AS) = (TD)

Va multumesc pentru raspuns.