Daca

sunt laturile unui triunghi aratati ca:

Cand avem egalitate?

Mai intai observam ca numitorii sunt numere >0, deoarece x,y,z>0 si x+y-z>, ..., deoarece x,y,z sunt laturile unui triunghi.
Inegalitatea data este pe rand echivalenta cu urmatoarele:

Deoarece ne supara numitorii introducem notatiile:

Atunci, inversand dependentele avem de rezolvat un sistem, ei bine avem ceva de forma

Daca nu am gresit la copiat calcule, atunci obtinem:

Inlocuind in ce aveam de demonstrat ultima oara, numaratorii se sparg usor aditiv si rezulta ca avem de demonstrat ceva de forma:

Folosim de doua ori inegalitatea mediilor si cele de mai sus se dovedesc a fi adevarate, de exemplu:

cu egalitate daca cei trei sumanzi din prima expresie sunt egali si anume cu 1.
Deci u=v=w la egalitate, deci x=y=z la egalitate in inegalitatea initiala. (Reciproca este evident adevarata...)

N.B. Aplic si io ce m-a invatat MANARADE...

Maiculitaaaa ! Mai usor nu se poate ?
INDICATIE

La a doua inegalitate scrisa de d-nul Gauss, amplificam fractiile cu,z,x,respectiv y, apoi Titu. (mai folosim si

)
PS: Da parca mai sunt vreo 2 - 3 exercitii aproape identice pe aici!(n-am timp sa caut)

Cauta si vei gasi...!