1.sa se arate ca daca seria: suma din u(n) (term general de ordin n) este convergenta,rezulta suma din u(n)^4 este conv.
Criteriul 1 al comparatiei?

2.dezvoltati in serie de puteri si precizati multimea pe care admite dezvoltarea,f(x)=ln[1+radical din (1+x^2)].
Aici am gresit la calculul derivatei de ordinul n

3.Calc. diferentiala de ora 1 si 2 pt functia g(x,y)= f[x^2+y^2,(x-y)^3].
Aici g este funcie compusa,nu?
4. f(x)=sinx. Dezvoltati in serie de cosinusuri pe [0,pi]. Aici se prelungeste prin paritate,dar cum,n-am idee.apoi se afla coeficientii Fourier...

Multumesc

(1) Consideram sirul urmator:

Avem de-a face cu un sir alternant, in care sirul valorilor absolute este descrescator catre zero. El converge potrivit criteriului lui Leibniz.
Din pacate, daca ridicam la puterea a 4-a, dam de sirul ( 1/n ), seria asociata lui este seria armonica, diverge.

Probabil ca problema initiala data undeva mai specifica (sau uita sa specifice) ca avem un sir cu valori pozitive.

Atunci putem rationa astfel: Sirul dat converge la zero, deoarece seria asociata lui converge. De aceea, de la o vreme membrii acestui sir sunt toti mai mici ca 1. Obtinem minorari majorari: Pentru n incepand de la un index incolo

iar cu criteriul comparatiei (pentru serii cu termeni nenegativi) rezulta convergenta seriei date.

(2)

Banuiesc ca este ceruta dezvoltarea in serie Taylor in jurul punctului 0 a seriei date. (Mare rugaminte: Probleme cu enunt complet! Este u )

Primul lucru pe care l-am facut a fost sa dau drumul la o linie in masina de calculat. (Unii oameni urasc aici computerul si nu vor sa-i dea drumul niciodata. Rog a se sari atunci peste acest punct. De asemenea cei din complement ce nu separa faza de invatare cu cea de stat in examen si scris randuri de luat puncte, sunt rugati a sari la punctul urmator)

Masina de calculat nu are prea multe de zis pe langa:

Avem poate raspunsul la intrebare.
Aici si numai aici mai inteleg intrebari puse pe acest forum la capitoulul "ce numar urmeaza in sirul..." si nu le elimin din campul de vedere -- cu marea diferenta ca sirul este aici bine definit...

Observam ca in raspuns se combina numarul "transcendent" log(2) cu ceva ce este de natura aritmetica. (Acest lucru face problema interesanta, am putea-o incadra in teoria analitica a numerelor.) Imediat am derivat. Cu masina de calculat putem sa cerem si dezvoltarea derivatei...

Acesta este un punct bun de a incerca sa rezolvati pe propriile coate
problema. Daca nu...

Functia data, derivata ei si cateva lucruri utile sunt:

aici, -1/2 peste k
este un coeficient binomial generalizat si folosesc notatia internationala.
(Notatia romana cu C indice jos n, indice sus k ascunde variabile importante in indici.)
Putem observa insa ca dezvoltarea are sens pentru x element din planul complex cu

|x| < 1 .

Avem voie sa "integram formal" in dezvoltare, rezultatul are aceeasi raza de convergenta (deoarece folosim formula razei de convergenta si faptul ca radical de ordinul n din n tinde la 1) si obtinem

ca sa fie (mai) clar ca raza de convergenta este 1.

Pentru cei ce nu vor (sisteme algebrice implementate pe) computer, totul s-a terminat aici.
Este bine sa ne verificam. Avem de exemplu cu el:

si aceste numere apar in dezvoltarea de la primul punct a derivatei lui f, respectiv a functiei f.

Astfel de dezvoltari sunt importante. Se poate lua de exemplu x=1 in formula dedusa... Nu neaparat in cazul de fata. Dar daca am avea in loc de logaritm un "polilogaritm" si in loc de argumentul de sub ln din problema data alte expresii care se specializeaza pentru un numar prim p in "ceva frumos", deodata ne-am plimba prin lume pe la conferinte de regulatori p-adici. A nu se subestima puterea analizei...


N.B. Am tiparit destul de mult "orb" (wysiwyds in loc de wysiwyg), sper ca nu am facut greseli...

(3) Nu int. c. s. calc.
Cine f?

(4) Mai exact: Ce fel de "serie de cosinusuri" se cere.
Daca ni se da forma seriei in care lipsesc doar coeficienti (sa zicem a(n) si b(n) si orice alte litere), mai putem discuta. Din pacate unele cursuri introduc unele notatii speciale si considera "bine stiute" lucruri care difera in notatie si acceptie de la bar la bar.

[Citat] (3) Nu int. c. s. calc. Cine f?

La 3 e diferentiala de ordinul 1 si 2 pt functia g(x,y)

(3) La acest punct apare litera f, care nu este specificata nicicum. In general nu strica a se scrie si domeniile de definitie si valori pentru functiile ce apar intr-o problema. Asta pentru ca presupun eu ca f are ceva cu o functie, nu cu un scalar f, care se inmulteste cu vectorul linie [ prima componenta, a doua componenta ] .
Iar daca f este o functie aiurea pe IR x IR (iar noi avem aici de scris formula de derivare de functii compuse in caz multidimensional), inca vreau sa mi se comunice acest lucru, un'ie e definita, un'ie ia valori si ca e diferentiabila (si anume de cate ori).

g(x,y)=f(x^2+y^2,(x-y)^3)
Cred ca g este functie compusa
Enuntul problemei nu specifica vreun domeniu de valori.