Nu reusesc sa rezolv:

Fie cubul ABCDA'B'C'D' de muchie l si M,N,P,Q mijl. muchiilor [A'B'], [BC], [CD], resp [NC] si O1, O2 centrele fetelor CDD'C' si A'B'C'D'.
Sa se afle: a) distanta dintre dreptele MO1 si NP
b) Daca E este proiectia lui A pe planul (MNO1) si F este proiectia lui C' pe planul (B'QP) sa se arate ca EF este perpendiculara pe MN.

Titlul geom VIII nu suna bine pentru o problema de geometrie analitica, care se rezolva usor daca scriem ecuatii de drepte si plane in spatiul cartezian.

(1)
Solutia analitica (sau cu vectori) merge cam asa (si anume dupa principiul ca nu e nevoie de inventii si creatie la locul muncii...)

Cubul dat il normez la un alt cub cu latura de 2. (Rescalarea la loc este usoara.)
Iau C ca fiind centrul unui sistem de coordonate carteziene cu axele ortogonale [CB), [CM) si [CC'). Notam vectorii corespunzatori cu i,j,k.
Atunci coordonatele unelor puncte sunt (si scriu semnul de egalitate fara sa-mi fac ganduri... De fapt cand scriu N=i parca imi vine sa scriu in mod riguros faptul ca vectorul de la centru sistemului ales, anume C, la N este i):

si asa mai departe daca am inteles bine unde stau punctele.
Un punct S(lambda) care se plimba pe dreapta prin M si O1 este de forma:

Un punct T(mu) care se plimba pe dreapta prin N si P este de forma:

Linearitatea din formulele de ami sus este facuta de asa natura incat pentru lambda (respectiv mu) egal cu zero sa dam de un punct "simplu" de pe dreapta, iar "coeficientul (vectorial)" al lui lambda (respectiv mu) este un vector de directie...

Cautam acum parametrii reali lambda, mu, astfel incat sa avem perpendicularitatile (pe vectorii de directie):

Perpendicularitatea se exprima ca anularea unui produs scalar.
Doar i.i=j.j=k.k=1 supravietuiesc dupa desfacerea parantezelor, se obtine un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, care se rezolva pe a VIII-a usor.
Cele doua puncte S(lambda), T(mu) astfel obtinute pentru solutiile ecuatiilor dau exact segmentul "dintre cele doua drepte", perpendicular pe ele.

Lungimea lui este exact distanta dintre cele doua drepte.

Daca aceasta nu este solutie de clasa a VIII-a sunt nevoit sa tiparesc o alta solutie in care sa imbin cunostiintele de clase superioare unde avem simplu formule dintre doua drepte. Si in mod "neasteptat" solutia are de-a face cu calcul de volume... (daca formulele de mai pe-a XI-a se aseamana, de ce sa nu facem legatura tacit folosind doar cunostinte de a VIII-a pentru a demonstra plini de mister ca iata, totul se poate demonstra ca-n evul mediu). Daca vad o sansa sa tiparesc, postez si solutia "sintetica"...

N-am nici o sansa sa fac desenul...
Asadar sper ca avem acelasi desen...

Am inventat puncte noi.
In primul rand am dus o para lela prin P la (M,O1), astfel facand rost de centrul O3 al peretelui ABB'A' al cubului. O sa mai avem nevoie poate de R, mijlocul lui AB si de O4, mijlocul fetei BCC'B'.
Le-am desenat, ca sa avem mai multe jaloane...

Paralela O3,P la M,O1 determina impreuna cu NP un plan (pi).
Avem de gasit distanta dintre dreapta (M,O1) si planul (pi).
Ajunge sa ne luam un punct convenabil pe (M,O1) si sa-i calculam distanta la (pi).
Din motive estetice ma iau de M.

Aria triunghiului (O3,N,P) cred ca este calculabila la nivel de a VIII-a.
(Heron, sau calculand distanta de la O3 la mijlocul lui [NP]...)

Mai ramane sa calculam volumul tetraedrului (M,O3,N,P).
Volumul lui este egal din motive de simetrie cu cel al tetraedrului (R,O3,N,P).
(Aceeasi baza, triunghiul (O3,N,P), inaltimi corespunzatoare egale.)
Pentru aceasta avem xde calculat aria mai simpla a triunghiului (RNP) pentru ca inaltimea (O3,R) este cunoscuta.

Tema de casa: Sa se vada daca nu am gresit pe undeva si sa se faca calculele...

Multumesc pt raspuns.
Dar pentru pct b aveti vreo idee?

O sa incerc sa dau intai o solutie analitica.
Deoarece aici foaia de hartie este destul de ingusta, las munca bruta pe seama tractoarelor, buldozerelor si calculatoarelor.

Mai intai cadrul matematic.
Se dau punctele A1, A2, A3; M de coordonate spatiale dupa cum urmeaza:

si am dori sa avem o formula pentru proiectia punctului M pe planul determinat de cele trei puncte A1, A2, A3. Nu voi da aici o altfel de formula.
Pentru clasa a VIII-a nu am oricum nici o sansa.
Cautam deci un punct

deci trei coordinate necunoscute. Ce conditii impunem acestui punct? In primul rand el trebuie sa fie in acelasi plan. Aceasta conditie se scrie folosind un determinant cel mai usor, cer scuze, nu este chiar VIII...

Vom vedea in curand explicit cum arata aceasta ecuatie in cazuri speciale.
Mai cerem ca MX sa fie perpendicular pe laturile triunghiului dat (A1,A2,A3).
Ajunge ca sa fie perpendicular pe (A1,A2) si (A1,A3).
Aceasta se scrie:

In principiu, solutia problemei propuse este "algoritmic deja clasificata".
Din pacate, exista ceva impedimente calculatorii. Si pentru ca nu cumva ca toata populatia romana sa foloseasca hartii pentru astfel de calcule, folosim tractorul.
Imi cer deja scuze, dar nu pot prezenta decat modul in care am rezolvat eu *cinstit* aceasta problema.
Sage... Mai intai definesc variabile, apoi o functie ce livreaza pentru imputul A1,A2,A3,M proiectia X a lui M pe planul (A1,A2,A3), apoi vedem pentru ce puncte din problema avem de folosit aceasta functie.

Cod:

Sage - in opozitie cu Mathematica, Maple, Matlan, Magma este un program liber.
(www.sagemath.org)
Multi oameni din lumea matematica urasc computerul deoarece ei sunt convinsi ca daca cer computerului 1/3 + 2/7 obtin fie zero fie 0.619047619047619... Acest lucru nu apartine secolului in care traim. Sage, impreuna cu toate sistemele de algebra computerizata livreaza 13/21, in modul acesta rezolvand multe din problemele elevilor din gimnaziu! Care sunt radacinile ecuatiei 2x^2-5x+2? Nici o problema, se tipareste solve( 2*x^2-5*x+2 == 0 ) si se obtine [x == 2, x == 1/2]. Vrem sa factorizam? nici o problema, factor( 2*x^2-5*x+2 ) livreaza instantaneu in sage 2*(x - 2)*(x - 1/2) ... Dupa parerea mea, contactul elevilor din gimnaziu cu astfel de jucarii este mult mai important decat fredonarea fara da sens a unor exercitii de calcul stupid cu rezultate urate.

Bun, din pacate, codul de mai sus este un exemplu mai avansat de cod, dar acest cod reflecta exact ceea ce este descris algoritmic de geometria analitica. Daca sunt intrebari relativ la ce este mai sus, fara probleme!

Bun. Ruland in sage aceste linii obtinem:

Am "demonstrat" astfel perpendicularitatea.
Daca nu as vedea acel numitor 58, as mai incerca cu inima impacata sa gasesc o solutie de clasa a VIII-a... Desigur, stiind acum unde este punctul E, se poate demonstra usor unde este cu metode de clasa a VIII-a, in principiu prelungind (M,O1) pana dam de un punct usor calculabil in planul (ABCD), il notam cu U, apoi taind UN cu laturile AB,AD ale patratului (ABCD), apoi din punctele obtinute facand asemanator rost de punctul de pe (A,A') din planul (M,O1,N), apoi aplicand teorema celor trei perpendiculare corespunzator in tetraedul cu varful A, cu muchii din A ce plecaca pe dreptele (AB), (AD), (AA') si cu baza din planul (M,N,O1). Este munca multa, dar cu tenacitate ea se termina repede. Cam acelasi lucru ar trebui facut insa si pentru F si exista un punct la care eu consider ca trebuie sa ma opresc.

O problema de clasa a VIII-a este pentru mine prin definitie una care se rezolva *in mod propriu* cu metodele si abilitatea de calcul specifice clasei a VIII-a, nu una care "in mod chinuit" s-ar putea rezolva cu ce se stie pana intr-a VIII-a, daca stim deja solutia si ne apropiem folosind artificii de ea...

O sa incerc sa revin sintetic (fara calcule cu ecuatii) asupra locatiei lui E, dar doar daca am timp. Daca "solutia" de mai sus este nemultumitoare, atunci suntem doi in aceesi barca. Pe pagina asta sunt insa multi adepti ai teoriei "daca e de clasa a VIII-a eu vreau o solutie de a VIII-a" (mai ales cand solutia de a VIII-a este cunoscuta) si sunt curios sa stiu cum stau apele limpezi tulburate in cazul de fata...

Rog a se pune intrebari in caz de interes asupre problemei, chiar daca cele de mai sus arata dezgustator, eu folosesc acest "stil" si pentru ca altfel nu pot bate citez in tastatura...