Fie

o functie derivabila.Sa se arate ca exista si este unica o functie

care este polinomiala de grad mai mic sau egal cu trei si care are propietatea ca functia

este derivabila.

Conditiile sunt, desigur,

. Scriind explicit, obtinem un sistem liniar cu 4 ecuatii si 4 necunoscute (coeficientii polinomului). Determinantul matricii sistemului este

, asadar sistemul are solutie, si aceasta este unica.

Desigur,trebuia sa ma fi gandit...si daca expresia din enunt este inlocuita cu "grad mai mic sau egal cu doi",atunci am un sistem de patru ecuatii cu trei necunoscute si afirmatia mai e valabila?

NU. Contraexemplu:

.
Sensul contraexemplului este ca nu exista un polinom de grad exact 2 care sa verifice conditia ceruta.

[Citat] Sensul contraexemplului este ca nu exista un polinom de grad exact 2 care sa verifice conditia ceruta.

Adica,conditia "exista si este unic",implica gardul polinomului exact 3?

Gradul depinde de functia f. De exemplu, pentru functia din postarea precedenta, exista un polinom care verifica conditiile, anume polinomul identic nul. Daca functia ar fi

, exista un polinom de grad 1 care verifica, etc.

In functie de functia f, sistemul de care am vorbit mai sus (si care are solutie unica) poate conduce la polinoame de grad 3,2,1 sau constante.

[Citat] Gradul depinde de functia f. De exemplu, pentru functia din postarea precedenta, exista un polinom care verifica conditiile, anume polinomul identic nul. Daca functia ar fi , exista un polinom de grad 1 care verifica, etc. In functie de functia f, sistemul de care am vorbit mai sus (si care are solutie unica) poate conduce la polinoame de grad 3,2,1 sau constante.

Sistemul are mereu solutie unica?Chiar daca gradul polinomului e 2?

Nu în?eleg întrebarea
Abia dup? ce rezolv?m sistemul (func?ia f fiind dat?) putem afla gradul polinomului.

Pai,mi-ati zis ca cele 4 cond.din ipoteza,conduc la un sistem de 4 ecuatii cu
->4 necunoscute,daca polinomul are grd.=3;
->inteleg apoi ca,polinomul poate fi si de grd.2(in fct de tipul functiei)In acest caz, sistemul are mereu solutie unica?
later edit:Gata,gata!"M-am prins!"

Am completat postarea anterioara.
Sistemul are mereu solutie unica. In functie de valorile concrete pentru

putem obtine un polinom de grad 3,2,1 sau constant. Am dat exemple cand polinomul rezulta constant sau de gradul 1.

[Citat] later edit:Gata,gata!"M-am prins!"

OK