Determinati punctele de extrem local ale functiei urmatoare:

f(x'y)=x^3+y^2+6xy-15x-10y

Imi dau f'x=3x^2+6y-15
f'y=6x+2y-10

.. si de aici nu-mi mai da ... Daca puteti ajutati-ma si pe mine cu rezolvarea.. si etapele rezolvarii....

Nota: x^3= x la puterea a 3-a etc.

Determinati punctele de extrem local ale functiei urmatoare:

Pasii in rezolvare sunt:

Se calculeaza derivatele partiale ale functiei, se rezolva sistemul (in cazul nostru algebric) dat de conditiile ca aceste derivate sa se anuleze.

Pentru fiecare din solutii se studiaza daca matricea hessiana in punctul respectiv este (strict) pozitiv sau negativ definita sau nedefinita. Daca nu, o inspectie mai exacta trebuie lansata.

Optional: Se scrie polinomul Taylor (pana la grad doi incliusiv) in jurul fiecarui astfel de punct. (Daca la ultimul punct matricea este semidefinita, atunci de obicei seria Taylor da indicatii suficiente. Pentru ca sa nu fim la capitolul "de obicei", cel ce propune problema trebuie sa scrie ceva de forma exp(-1/x^2) pe hartie. Dar atunci masa de studenti ii va recomanda unul din spitalele cele mai accesibile, cunoscut inca din studentie pentru scutiri necesare oamenilor sanatosi.)

Optional: Se ia computerul (gnuplot) si se trage un plot in jurul fiecarui punct critic, atat pentru functia de studiat cat si pentru polinomul Taylor (de obicei de grad doi). Daca inca mai sunt probleme de intelegere, atunci matematica trebuie definitiv scoasa din programa din multele facultati din Regie, inlocuita cu materii unde omul poate macar veni servit in examen. Si asa dupa examen atractia de a arde cursurile biruie sentimentul de solidaritate si chiar probabilitatea de a le vinde generatiei ce vine.

Bun. In cazul nostru:
Derivata dupa y ne da o ecuatie liniara, care cere cu palme substitutia in prima ecuatie. Rezolvand dam de (transcript maxima, ca sa nu tiparesc eu...):

Obtinem:

In polinoamele Taylor de mai sus, termenii liniari nu apar.
(Planul tangent in reprezentarea grafica a functiei, deci aproximarea ei liniara, este deci paralel cu planul xOy si este ridicat pe scripeti la "inaltimile" de -50 si respectiv -18 tot asa cum economia nationala se ridica tot mai tare.)
Hessiana ia din polinoamele Taylor exact termenii de grad doi. Mai sunt ceva coeficienti binomiali ce trebuie "ghiciti", pentru a avea efectul de intelegere, ei sunt 1 / (2!0! ) si 1 / (1!1!) si 1 / (0!2! ) pentru monoamele in x^2 y^0 , x^ 1 y^1 si x^0 y^2... Sper ca e clar...

In conditii de examen se ajunge pentru functii algebrice (polinoame) usor la aceste descompuneri, se substituie de exemplu cu xi acel (x-1) si cu eta acel (y-2), se rescrie x = xi +1 si y = eta +2 si se desfac paranteze dupa inlocuire in relatia de definitie a lui f.

In fine, dam de doua hessiene, sunt ele pozitiv definite?
Sa vedem:
Elementele de pe diagonala sunt strict pozitive. Nu-i rau...
Determinantul matricii este:
- pentru x=1 ceva (strict) negativ, deci matricea este nedefinita. Punct sa.
- pentru x=5: 60-36 > 0, deci ceva pozitiv. Punct de minim. (Ca si la scoala pe a XI-a, cand derivata a IIa este >0, tot minim. Hessiana este tot "derivata a doua".)

Nu pot plota aici.
Dar recomand tragerea unui plot cu sistemul algebric computerizat preferat.

Pentru cei ce inca se mira de ce avem punct sa, respectiv de minim, sa studiem mai indeaproape cele doua parti de grad II din polinoamele Taylor.
Consideram functia:

Ia aceasta functie in vecinatatea lui zero atat valori pozitive, cat si valori negative?

Pai sa vedem. Daca eta este nul, dam de acel 15 = (coeficientul 6.5) / 2!, care este >0. Daca xi este nul, dam cam de celalalt coeficient. Au acelasi semn. Semn bun. (Altfel deja stampilam functia ca avand o sa prin zero-zero.)

Sa zicem acum ca atat eta cat si xi NU sunt nule. Pai putem imparti cu eta^2 de exemplu. Dam de ceva ce se n umeste functie de gradul doi si ne simtim tineri ca in clasa a IX-a. Semnul avea de-a face cu semnul coeficientului principal, deja transat, si cu (im)posibilitatea de a da de radacini. Pentru asta se asocia discriminantul... Ei bine, discriminantul asta cam seamana cu determinantul hessienei. O mica coincidenta care ne face sa inchidem ciclul...

Bafta!